Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoat 35933
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 35928, ltrnat 35929 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncoat
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1242 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
3 ltrnel.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6ltrnat 35929 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
873adant2l 1190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
93, 4, 5, 6ltrnat 35929 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
101, 2, 8, 9syl3anc 1477 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  lecple 16150  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-plt 17159  df-glb 17176  df-p0 17240  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-hlat 35141  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  36422  cdlemg9  36424  cdlemg11aq  36428  cdlemg12a  36433  cdlemg12c  36435  cdlemg12f  36438  cdlemg12g  36439  cdlemg12  36440  cdlemg13a  36441  cdlemg13  36442  cdlemg17f  36456  cdlemg17g  36457  cdlemg17  36467  cdlemg19a  36473  cdlemg19  36474
  Copyright terms: Public domain W3C validator