Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg12a 35408
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))

Proof of Theorem cdlemg12a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1176 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑃𝐴)
3 simp1 1059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp31 1095 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐺𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 34903 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp1r 1084 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑊𝐻)
12 simp21 1092 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 simp22l 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑄𝐴)
14 simp32 1096 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑃𝑄)
15 cdlemg12.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
16 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
17 cdlemg12.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
185, 15, 16, 6, 7, 17cdleme0a 34975 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
191, 11, 12, 13, 14, 18syl212anc 1333 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑈𝐴)
20 simp33 1097 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))
215, 15, 16, 62llnma3r 34551 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈)) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) = 𝑈)
221, 2, 10, 19, 20, 21syl131anc 1336 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) = 𝑈)
23 simp23 1094 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐹𝑇)
245, 6, 7, 8ltrncoat 34907 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
253, 23, 4, 2, 24syl121anc 1328 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
265, 15, 6hlatlej2 34139 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
271, 25, 19, 26syl3anc 1323 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑈 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
2822, 27eqbrtrd 4635 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868
This theorem is referenced by:  cdlemg12b  35409
  Copyright terms: Public domain W3C validator