Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoval 35749
Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))

Proof of Theorem ltrncoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1108 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
3 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 35728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8 f1of 6175 . . 3 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
97, 8syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
10 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
113, 10atbase 34894 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1104 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13 fvco3 6314 . 2 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
149, 12, 13syl2anc 694 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-ats 34872  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709
This theorem is referenced by:  cdlemg41  36323  trlcoabs  36326  trlcoabs2N  36327  trlcolem  36331  cdlemg44  36338  cdlemi2  36424  cdlemk2  36437  cdlemk4  36439  cdlemk8  36443  dia2dimlem4  36673  dihjatcclem3  37026
  Copyright terms: Public domain W3C validator