Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnel 34242
Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnel (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))

Proof of Theorem ltrnel
StepHypRef Expression
1 simp3l 1081 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 ltrnel.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 33393 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
54adantr 479 . . . 4 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
82, 3, 6, 7ltrnatb 34240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
95, 8syl3an3 1352 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
101, 9mpbid 220 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp3r 1082 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
12 simp1 1053 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simp2 1054 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
141, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1r 1078 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
162, 6lhpbase 34101 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18 ltrnel.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
192, 18, 6, 7ltrnle 34232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) (𝐹𝑊)))
2012, 13, 14, 17, 19syl112anc 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) (𝐹𝑊)))
21 simp1l 1077 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22 hllat 33467 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
242, 18latref 16818 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 𝑊)
2523, 17, 24syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 𝑊)
262, 18, 6, 7ltrnval1 34237 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 𝑊)) → (𝐹𝑊) = 𝑊)
2712, 13, 17, 25, 26syl112anc 1321 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑊) = 𝑊)
2827breq2d 4585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑃) 𝑊))
2920, 28bitrd 266 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) 𝑊))
3011, 29mtbid 312 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)
3110, 30jca 552 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  Basecbs 15637  lecple 15717  Latclat 16810  Atomscatm 33367  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-glb 16740  df-p0 16804  df-lat 16811  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208
This theorem is referenced by:  ltrncoelN  34246  ltrnmw  34254  trlcnv  34269  trljat2  34271  cdlemc3  34297  cdlemc5  34299  cdlemd9  34310  cdlemeiota  34690  cdlemg1cex  34693  cdlemg2l  34708  cdlemg2m  34709  cdlemg7fvbwN  34712  cdlemg4a  34713  cdlemg4b1  34714  cdlemg4b2  34715  cdlemg4d  34718  cdlemg4e  34719  cdlemg4  34722  cdlemg6e  34727  cdlemg7fvN  34729  cdlemg8b  34733  cdlemg8c  34734  cdlemg10bALTN  34741  cdlemg10a  34745  cdlemg12d  34751  cdlemg13a  34756  cdlemg13  34757  cdlemg14f  34758  cdlemg17b  34767  cdlemg17f  34771  cdlemg17i  34774  trlcoabs  34826  trlcoabs2N  34827  trlcolem  34831  cdlemg43  34835  cdlemg44b  34837  cdlemi2  34924  cdlemi  34925  cdlemk2  34937  cdlemk3  34938  cdlemk4  34939  cdlemk8  34943  cdlemk9  34944  cdlemk9bN  34945  cdlemki  34946  cdlemksv2  34952  cdlemk12  34955  cdlemkoatnle  34956  cdlemk12u  34977  cdlemkfid1N  35026  cdlemk47  35054  dia2dimlem1  35170  dia2dimlem2  35171  dia2dimlem3  35172  dia2dimlem6  35175  cdlemm10N  35224  dih1dimatlem0  35434  dih1dimatlem  35435
  Copyright terms: Public domain W3C validator