Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnelpln 34395
Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolnelpln.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑃)

Proof of Theorem lvolnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 34169 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lvolnelpln.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
42, 3lvolbase 34383 . . 3 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 16993 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 494 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lvolnelpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 8, 3lvolnlelpln 34390 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑃) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1264 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋𝑃 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 131 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  Basecbs 15800  lecple 15888  Latclat 16985  HLchlt 34156  LPlanesclpl 34297  LVolsclvol 34298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  34420  lplncvrlvol  34421
  Copyright terms: Public domain W3C validator