MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgplem 18422
Description: Lemma for mgpbas 18423. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
mgplem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 mgplem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 15812 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 mgplem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 15811 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 15904 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 2856 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 221 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 15843 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
10 mgpbas.1 . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1210, 11mgpval 18420 . . 3 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1312fveq2i 6156 . 2 (𝐸𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2646 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cop 4159  cfv 5852  (class class class)co 6610  cn 10971  2c2 11021  ndxcnx 15785   sSet csts 15786  Slot cslot 15787  +gcplusg 15869  .rcmulr 15870  mulGrpcmgp 18417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-nn 10972  df-2 11030  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-sets 15794  df-plusg 15882  df-mgp 18418
This theorem is referenced by:  mgpbas  18423  mgpsca  18424  mgptset  18425  mgpds  18427
  Copyright terms: Public domain W3C validator