Theorem mgplem 19244

Description: Lemma for mgpbas 19245. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16509	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplem.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 16508	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 16595	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3082	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 16539	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 19242	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6673	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2847	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℕcn 11638  2c2 11693  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Slot cslot 16482  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  mulGrpcmgp 19239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mgp 19240

This theorem is referenced by:  mgpbas  19245  mgpsca  19246  mgptset  19247  mgpds  19249