MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpbas 18411
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpbas 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mgpbas.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3 df-base 15781 . . 3 Base = Slot 1
4 1nn 10976 . . 3 1 ∈ ℕ
5 1ne2 11185 . . 3 1 ≠ 2
62, 3, 4, 5mgplem 18410 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
71, 6eqtri 2648 1 𝐵 = (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  cfv 5850  1c1 9882  Basecbs 15776  mulGrpcmgp 18405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-mgp 18406
This theorem is referenced by:  mgptopn  18414  mgpress  18416  dfur2  18420  srgcl  18428  srgass  18429  srgideu  18430  srgidcl  18434  srgidmlem  18436  issrgid  18439  srg1zr  18445  srgpcomp  18448  srgpcompp  18449  srgpcomppsc  18450  srgbinomlem1  18456  srgbinomlem4  18459  srgbinomlem  18460  srgbinom  18461  csrgbinom  18462  ringcl  18477  crngcom  18478  iscrng2  18479  ringass  18480  ringideu  18481  ringidcl  18484  ringidmlem  18486  isringid  18489  ringidss  18493  ringpropd  18498  crngpropd  18499  isringd  18501  iscrngd  18502  ring1  18518  gsummgp0  18524  prdsmgp  18526  oppr1  18550  unitgrpbas  18582  unitsubm  18586  rngidpropd  18611  dfrhm2  18633  rhmmul  18643  isrhm2d  18644  idrhm  18647  rhmf1o  18648  pwsco1rhm  18654  pwsco2rhm  18655  isdrng2  18673  drngmcl  18676  drngid2  18679  isdrngd  18688  subrgsubm  18709  issubrg3  18724  cntzsubr  18728  pwsdiagrhm  18729  rhmpropd  18731  rlmscaf  19122  sraassa  19239  assamulgscmlem1  19262  assamulgscmlem2  19263  psrcrng  19327  mplcoe3  19380  mplcoe5lem  19381  mplcoe5  19382  mplbas2  19384  evlslem6  19427  evlslem3  19428  evlslem1  19429  mpfind  19450  ply1moncl  19555  coe1tm  19557  coe1pwmul  19563  ply1scltm  19565  ply1coefsupp  19579  ply1coe  19580  gsummoncoe1  19588  lply1binomsc  19591  evls1gsummul  19604  evls1varpw  19605  evl1expd  19623  evl1gsummul  19638  evl1scvarpw  19641  evl1scvarpwval  19642  evl1gsummon  19643  xrsmcmn  19683  cnfldexp  19693  cnmsubglem  19723  expmhm  19729  nn0srg  19730  rge0srg  19731  expghm  19758  cnmsgnbas  19838  ringvcl  20118  mamuvs2  20126  matgsumcl  20180  madetsmelbas  20184  madetsmelbas2  20185  mat1mhm  20204  scmatmhm  20254  mdetleib2  20308  mdetf  20315  m1detdiag  20317  mdetdiaglem  20318  mdetdiag  20319  mdetdiagid  20320  mdetrlin  20322  mdetrsca  20323  mdetralt  20328  mdetunilem7  20338  mdetunilem8  20339  mdetuni0  20341  m2detleiblem2  20348  m2detleiblem3  20349  m2detleiblem4  20350  smadiadetlem4  20389  mat2pmatmhm  20452  pmatcollpwscmatlem1  20508  mply1topmatcllem  20522  mply1topmatcl  20524  pm2mpghm  20535  pm2mpmhm  20539  monmat2matmon  20543  pm2mp  20544  chpscmat  20561  chpscmatgsumbin  20563  chpscmatgsummon  20564  chp0mat  20565  chpidmat  20566  chfacfscmulcl  20576  chfacfscmul0  20577  chfacfscmulgsum  20579  chfacfpmmulcl  20580  chfacfpmmul0  20581  chfacfpmmulgsum  20583  chfacfpmmulgsum2  20584  cayhamlem1  20585  cpmadugsumlemB  20593  cpmadugsumlemC  20594  cpmadugsumlemF  20595  cayhamlem2  20603  cayhamlem4  20607  nrgtrg  22399  deg1pw  23779  ply1remlem  23821  fta1blem  23827  plypf1  23867  efabl  24195  efsubm  24196  amgm  24612  wilthlem2  24690  wilthlem3  24691  dchrelbas2  24857  dchrelbas3  24858  dchrzrhmul  24866  dchrmulcl  24869  dchrn0  24870  dchrinvcl  24873  dchrfi  24875  dchrsum2  24888  sum2dchr  24894  lgsqrlem1  24966  lgsqrlem2  24967  lgsqrlem3  24968  lgsqrlem4  24969  lgseisenlem3  24997  lgseisenlem4  24998  dchrisum0flblem1  25092  psgnid  29624  mdetpmtr1  29663  iistmd  29722  xrge0iifmhm  29759  xrge0pluscn  29760  pl1cn  29775  hbtlem4  37163  subrgacs  37237  cntzsdrg  37239  idomrootle  37240  isdomn3  37249  mon1psubm  37251  deg1mhm  37252  amgm2d  37969  amgm3d  37970  amgm4d  37971  isringrng  41142  rngcl  41144  isrnghmmul  41154  rnghmf1o  41164  idrnghm  41169  c0rhm  41173  c0rnghm  41174  lidlmmgm  41186  lidlmsgrp  41187  2zrngmmgm  41207  2zrngmsgrp  41208  2zrngnring  41213  cznrng  41216  cznnring  41217  mgpsumunsn  41401  mgpsumz  41402  mgpsumn  41403  invginvrid  41410  ply1vr1smo  41431  ply1mulgsumlem4  41439  ply1mulgsum  41440  amgmlemALT  41826  amgmw2d  41827
  Copyright terms: Public domain W3C validator