Theorem mgpbas 19245

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		df-base 16489	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 11649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		1ne2 11846	. . 3 ⊢ 1 ≠ 2
6	2, 3, 4, 5	mgplem 19244	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
7	1, 6	eqtri 2844	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1537  ‘cfv 6355  1c1 10538  Basecbs 16483  mulGrpcmgp 19239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mgp 19240

This theorem is referenced by:  mgptopn  19248  mgpress  19250  dfur2  19254  srgcl  19262  srgass  19263  srgideu  19264  srgidcl  19268  srgidmlem  19270  issrgid  19273  srg1zr  19279  srgpcomp  19282  srgpcompp  19283  srgpcomppsc  19284  srgbinomlem1  19290  srgbinomlem4  19293  srgbinomlem  19294  srgbinom  19295  csrgbinom  19296  ringcl  19311  crngcom  19312  iscrng2  19313  ringass  19314  ringideu  19315  ringidcl  19318  ringidmlem  19320  isringid  19323  ringidss  19327  ringpropd  19332  crngpropd  19333  isringd  19335  iscrngd  19336  ring1  19352  gsummgp0  19358  prdsmgp  19360  oppr1  19384  unitgrpbas  19416  unitsubm  19420  rngidpropd  19445  dfrhm2  19469  rhmmul  19479  isrhm2d  19480  idrhm  19483  rhmf1o  19484  pwsco1rhm  19490  pwsco2rhm  19491  isdrng2  19512  drngmcl  19515  drngid2  19518  isdrngd  19527  subrgsubm  19548  issubrg3  19563  cntzsubr  19568  pwsdiagrhm  19569  rhmpropd  19571  subrgacs  19579  cntzsdrg  19581  subdrgint  19582  primefld  19584  rlmscaf  19981  sraassa  20099  assamulgscmlem1  20128  assamulgscmlem2  20129  psrcrng  20193  mplcoe3  20247  mplcoe5lem  20248  mplcoe5  20249  mplbas2  20251  evlslem3  20293  evlslem6  20294  evlslem1  20295  evlsgsummul  20305  evlspw  20306  mpfind  20320  ply1moncl  20439  coe1tm  20441  coe1pwmul  20447  ply1scltm  20449  ply1coefsupp  20463  ply1coe  20464  gsummoncoe1  20472  lply1binomsc  20475  evls1gsummul  20488  evls1pw  20489  evl1expd  20508  evl1gsummul  20523  evl1scvarpw  20526  evl1scvarpwval  20527  evl1gsummon  20528  xrsmcmn  20568  cnfldexp  20578  cnmsubglem  20608  expmhm  20614  nn0srg  20615  rge0srg  20616  expghm  20643  cnmsgnbas  20722  ringvcl  21009  mamuvs2  21015  matgsumcl  21069  madetsmelbas  21073  madetsmelbas2  21074  mat1mhm  21093  scmatmhm  21143  mdetleib2  21197  mdetf  21204  m1detdiag  21206  mdetdiaglem  21207  mdetdiag  21208  mdetdiagid  21209  mdetrlin  21211  mdetrsca  21212  mdetralt  21217  mdetunilem7  21227  mdetunilem8  21228  mdetuni0  21230  m2detleiblem2  21237  m2detleiblem3  21238  m2detleiblem4  21239  smadiadetlem4  21278  mat2pmatmhm  21341  pmatcollpwscmatlem1  21397  mply1topmatcllem  21411  mply1topmatcl  21413  pm2mpghm  21424  pm2mpmhm  21428  monmat2matmon  21432  pm2mp  21433  chpscmat  21450  chpscmatgsumbin  21452  chpscmatgsummon  21453  chp0mat  21454  chpidmat  21455  chfacfscmulcl  21465  chfacfscmul0  21466  chfacfscmulgsum  21468  chfacfpmmulcl  21469  chfacfpmmul0  21470  chfacfpmmulgsum  21472  chfacfpmmulgsum2  21473  cayhamlem1  21474  cpmadugsumlemB  21482  cpmadugsumlemC  21483  cpmadugsumlemF  21484  cayhamlem2  21492  cayhamlem4  21496  nrgtrg  23299  deg1pw  24714  ply1remlem  24756  fta1blem  24762  plypf1  24802  efabl  25134  efsubm  25135  amgm  25568  wilthlem2  25646  wilthlem3  25647  dchrelbas2  25813  dchrelbas3  25814  dchrzrhmul  25822  dchrmulcl  25825  dchrn0  25826  dchrinvcl  25829  dchrfi  25831  dchrsum2  25844  sum2dchr  25850  lgsqrlem1  25922  lgsqrlem2  25923  lgsqrlem3  25924  lgsqrlem4  25925  lgseisenlem3  25953  lgseisenlem4  25954  dchrisum0flblem1  26084  cntrcrng  30697  psgnid  30739  cnmsgn0g  30788  altgnsg  30791  freshmansdream  30859  elringlsm  30946  ringlsmss  30947  lsmsnpridl  30948  cringm4  30962  mxidlprm  30977  mdetpmtr1  31088  iistmd  31145  xrge0iifmhm  31182  xrge0pluscn  31183  pl1cn  31198  hbtlem4  39746  idomrootle  39815  isdomn3  39824  mon1psubm  39826  deg1mhm  39827  amgm2d  40571  amgm3d  40572  amgm4d  40573  isringrng  44172  rngcl  44174  isrnghmmul  44184  rnghmf1o  44194  idrnghm  44199  c0rhm  44203  c0rnghm  44204  lidlmmgm  44216  lidlmsgrp  44217  2zrngmmgm  44237  2zrngmsgrp  44238  2zrngnring  44243  cznrng  44246  cznnring  44247  mgpsumunsn  44429  mgpsumz  44430  mgpsumn  44431  invginvrid  44435  ply1vr1smo  44455  ply1mulgsumlem4  44463  ply1mulgsum  44464  amgmlemALT  44924  amgmw2d  44925