MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmvlin 19964
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p + = (+g𝑀)
mhmvlin.q = (+g𝑁)
Assertion
Ref Expression
mhmvlin ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2 elmapi 7742 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
323ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6252 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ 𝐵)
5 elmapi 7742 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
653ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
76ffvelrnda 6252 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ 𝐵)
8 mhmvlin.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
9 mhmvlin.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
10 mhmvlin.q . . . . 5 = (+g𝑁)
118, 9, 10mhmlin 17111 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
121, 4, 7, 11syl3anc 1317 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
1312mpteq2dva 4666 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
14 mhmrcl1 17107 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16153ad2antl1 1215 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
178, 9mndcl 17070 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
1816, 4, 7, 17syl3anc 1317 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
19 elmapex 7741 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2019simprd 477 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
223feqmptd 6144 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
236feqmptd 6144 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
2421, 4, 7, 22, 23offval2 6789 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
25 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
268, 25mhmf 17109 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27263ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
2827feqmptd 6144 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
29 fveq2 6088 . . 3 (𝑧 = ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
3018, 24, 28, 29fmptco 6288 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))))
31 fvex 6098 . . . 4 (𝐹‘(𝑋𝑦)) ∈ V
3231a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑋𝑦)) ∈ V)
33 fvex 6098 . . . 4 (𝐹‘(𝑌𝑦)) ∈ V
3433a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑌𝑦)) ∈ V)
35 fcompt 6291 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼𝐵) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
3627, 3, 35syl2anc 690 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
37 fcompt 6291 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼𝐵) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3827, 6, 37syl2anc 690 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3921, 32, 34, 36, 38offval2 6789 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
4013, 30, 393eqtr4d 2653 1 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cmpt 4637  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑚 cmap 7721  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Mndcmnd 17063   MndHom cmhm 17102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-map 7723  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104
This theorem is referenced by:  mendring  36584
  Copyright terms: Public domain W3C validator