Theorem mpoexxg 7770

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpofun 7273	. 2 ⊢ Fun 𝐹
3	1	dmmpossx 7761	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4		snex 5329	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
5		xpexg 7470	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
7	6	ralimi 3159	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8		iunexg 7661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
9	7, 8	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10		ssexg 5224	. . 3 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	3, 9, 10	sylancr 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12		funex 6979	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  Vcvv 3493   ⊆ wss 3933  {csn 4564  ∪ ciun 4916   × cxp 5550  dom cdm 5552  Fun wfun 6346   ∈ cmpo 7155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5457  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-1st 7686  df-2nd 7687

This theorem is referenced by:  mpoexg  7771  mpoex  7774  gsum2d2lem  19089  taylfval  24945  ptrest  34929