Theorem oa00 4199

Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero.

Assertion

Ref	Expression
oa00	⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → ((A +o B) = ∅ ↔ (A = ∅ ⋀ B = ∅)))

Proof of Theorem oa00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 3030	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ On → (∅ ∈ A ↔ A ≠ ∅))
2	1	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (∅ ∈ A ↔ A ≠ ∅))
3		oaword1 4192	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → A ⊆ (A +o B))
4	3	sseld 2070	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (∅ ∈ A → ∅ ∈ (A +o B)))
5	2, 4	sylbird 205	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (A ≠ ∅ → ∅ ∈ (A +o B)))
6		ne0i 2289	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (A +o B) → (A +o B) ≠ ∅)
7	5, 6	syl6 22	. . . 4 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (A ≠ ∅ → (A +o B) ≠ ∅))
8	7	necon4d 1631	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → ((A +o B) = ∅ → A = ∅))
9		on0eln0 3030	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ On → (∅ ∈ B ↔ B ≠ ∅))
10	9	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (∅ ∈ B ↔ B ≠ ∅))
11		0elon 3028	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
12		oaord 4187	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ⋀ B ∈ On ⋀ A ∈ On) → (∅ ∈ B ↔ (A +o ∅) ∈ (A +o B)))
13	11, 12	mp3an1 905	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ On ⋀ A ∈ On) → (∅ ∈ B ↔ (A +o ∅) ∈ (A +o B)))
14	13	ancoms 438	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (∅ ∈ B ↔ (A +o ∅) ∈ (A +o B)))
15	10, 14	bitr3d 532	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (B ≠ ∅ ↔ (A +o ∅) ∈ (A +o B)))
16		ne0i 2289	. . . . 5 ⊢ ((A +o ∅) ∈ (A +o B) → (A +o B) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6bi 214	. . . 4 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → (B ≠ ∅ → (A +o B) ≠ ∅))
18	17	necon4d 1631	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → ((A +o B) = ∅ → B = ∅))
19	8, 18	jcad 602	. 2 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → ((A +o B) = ∅ → (A = ∅ ⋀ B = ∅)))
20		opreq12 3976	. . 3 ⊢ ((A = ∅ ⋀ B = ∅) → (A +o B) = (∅ +o ∅))
21		oa0 4161	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
22	11, 21	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (∅ +o ∅) = ∅
23	20, 22	syl6eq 1526	. 2 ⊢ ((A = ∅ ⋀ B = ∅) → (A +o B) = ∅)
24	19, 23	impbid1 519	1 ⊢ ((A ∈ On ⋀ B ∈ On) → ((A +o B) = ∅ ↔ (A = ∅ ⋀ B = ∅)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∅c0 2283  Oncon0 2954  (class class class)co 3969   +_o coa 4136

This theorem is referenced by:  oalimcl 4200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

Copyright terms: Public domain