MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  on0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem on0eln0 5749
Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
on0eln0 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0
StepHypRef Expression
1 eloni 5702 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ord0eln0 5748 . 2 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  Ord word 5691  Oncon0 5692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-on 5696
This theorem is referenced by:  ondif1  7541  oe0lem  7553  oevn0  7555  oa00  7599  omord  7608  om00  7615  om00el  7616  omeulem1  7622  omeulem2  7623  oewordri  7632  oeordsuc  7634  oelim2  7635  oeoa  7637  oeoe  7639  oeeui  7642  omabs  7687  omxpenlem  8021  cantnff  8531  cantnfp1lem2  8536  cantnfp1lem3  8537  cantnfp1  8538  cantnflem1d  8545  cantnflem1  8546  cantnflem3  8548  cantnflem4  8549  cantnf  8550  cnfcomlem  8556  cnfcom3  8561  r1tskina  9564  onsucconni  32131  onint1  32143  frlmpwfi  37187
  Copyright terms: Public domain W3C validator