MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld1 20941
Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3672 . . 3 {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 20937 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 481 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 20659 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6syl5sseq 3638 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 3886 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
96difeq1d 3711 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
108, 9syl5eqr 2669 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
112ordtopn1 20938 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2699 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 20658 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2621 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 20771 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 956 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  cdif 3557  wss 3560   cuni 4409   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  cfv 5857  ordTopcordt 16099  Topctop 20638  TopOnctopon 20655  Clsdccld 20760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cld 20763
This theorem is referenced by:  ordtcld3  20943
  Copyright terms: Public domain W3C validator