Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 40685
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
21ffnd 6033 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6325 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5 mnfxr 10081 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10 icoltub 39535 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
116, 8, 9, 10syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
1211ex 450 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151ffvelrnda 6345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1715mnfled 39422 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
19 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 12209 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
2120ex 450 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) < 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
2212, 21impbid 202 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2322rabbidva 3183 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
244, 23eqtrd 2654 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {crab 2913   class class class wbr 4644  ccnv 5103  cima 5107   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  [,)cico 12162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ico 12166
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  40692
  Copyright terms: Public domain W3C validator