MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicod 12182
Description: Membership in a left closed, right open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elicod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4 (𝜑𝐴𝐶)
elicod.5 (𝜑𝐶 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
elicod (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod
StepHypRef Expression
1 elicod.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 elicod.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 elicod.5 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
4 elicod.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 elicod.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elico1 12176 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1243 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  [,)cico 12135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-xr 10038  df-ico 12139
This theorem is referenced by:  fprodge1  14670  absfico  38919  icoiccdif  39196  icoopn  39197  eliccnelico  39202  eliccelicod  39203  ge0xrre  39204  uzinico  39233  fsumge0cl  39241  limsupresico  39368  limsuppnfdlem  39369  limsupmnflem  39388  icocncflimc  39437  fourierdlem41  39702  fourierdlem46  39706  fourierdlem48  39708  fouriersw  39785  fge0iccico  39924  sge0tsms  39934  sge0repnf  39940  sge0pr  39948  sge0iunmptlemre  39969  sge0rpcpnf  39975  sge0rernmpt  39976  sge0ad2en  39985  sge0xaddlem2  39988  voliunsge0lem  40026  meassre  40031  meaiuninclem  40034  omessre  40061  omeiunltfirp  40070  hoiprodcl  40098  hoicvr  40099  ovnsubaddlem1  40121  hoiprodcl3  40131  hoidmvcl  40133  hoidmv1lelem3  40144  hoidmvlelem3  40148  hoidmvlelem5  40150  hspdifhsp  40167  hoiqssbllem1  40173  hoiqssbllem2  40174  hspmbllem2  40178  volicorege0  40188  ovolval5lem1  40203  iunhoiioolem  40226  preimaicomnf  40259  mod42tp1mod8  40848
  Copyright terms: Public domain W3C validator