Theorem resfifsupp 8854

Description: The restriction of a function to a finite set is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resfifsupp.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
resfifsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
resfifsupp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resfifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem resfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resfifsupp.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
2		funrel 6365	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
4		resindm 5893	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
6	1	funfnd 6379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
7		fnresin2 6466	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
9		resfifsupp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
10		infi 8735	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
12		resfifsupp.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13	8, 11, 12	fndmfifsupp 8839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) finSupp 𝑍)
14	5, 13	eqbrtrrd 5083	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3928   class class class wbr 5059  dom cdm 5548   ↾ cres 5550  Rel wrel 5553  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  Fincfn 8502   finSupp cfsupp 8826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-supp 7824  df-er 8282  df-en 8503  df-fin 8506  df-fsupp 8827

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsd  30713