MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revfv 13732
Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revfv ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Proof of Theorem revfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 13729 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
21fveq1d 6355 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋))
3 oveq2 6822 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋))
43fveq2d 6357 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
5 eqid 2760 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
6 fvex 6363 . . 3 (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6445 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
82, 7sylan9eq 2814 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  cmin 10478  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  reversecreverse 13503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-reverse 13511
This theorem is referenced by:  revs1  13734  revccat  13735  revrev  13736  revco  13800
  Copyright terms: Public domain W3C validator