MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revfv 13309
Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revfv ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Proof of Theorem revfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 13306 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
21fveq1d 6090 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋))
3 oveq2 6535 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑋))
43fveq2d 6092 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
5 eqid 2609 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
6 fvex 6098 . . 3 (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑋)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6176 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
82, 7sylan9eq 2663 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793  cmin 10117  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  reversecreverse 13098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-reverse 13106
This theorem is referenced by:  revs1  13311  revccat  13312  revrev  13313  revco  13377
  Copyright terms: Public domain W3C validator