Theorem rrx2pnedifcoorneor 44752

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneor.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pnecoorneor 44751	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4		rrx2pnedifcoorneor.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
5	4	neeq1i 3080	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
6		rrx2pnedifcoorneor.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7	6	neeq1i 3080	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
8	5, 7	orbi12i 911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
9	1, 2	rrx2pxel 44747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
11	1, 2	rrx2pxel 44747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
13		subeq0 10912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
14	10, 12, 13	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
15	14	necon3bid 3060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
16	1, 2	rrx2pyel 44748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
18	1, 2	rrx2pyel 44748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
20		subeq0 10912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
21	17, 19, 20	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
22	21	necon3bid 3060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)))
23	15, 22	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))))
24		necom 3069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
25		necom 3069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
26	24, 25	orbi12i 911	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
27	23, 26	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
28	8, 27	syl5bb 285	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
29	28	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
30	3, 29	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   − cmin 10870  2c2 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-2 11701

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneorr  44753