Theorem sn-00idlem2 39306

Description: Lemma for sn-00id 39308. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem2	⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Proof of Theorem sn-00idlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10636	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2 39297	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1456	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0)
4		re1m1e0m0 39304	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	3, 4	eqtr4i 2846	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
6		rernegcl 39278	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 0) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1 39305	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0))
10		1re 10634	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1 39305	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
13	5, 9, 12	3eqtr4i 2853	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0))
14	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
15		1red 10635	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
16		id 22	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ≠ 0)
17	14, 15, 14, 16	remulcan2d 39233	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0)) ↔ (0 −ℝ 0) = 1))
18	13, 17	mpbii 235	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   −_ℝ cresub 39272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-resub 39273

This theorem is referenced by:  sn-00id  39308