Theorem re1m1e0m0 39302

Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddid1 39300. Uses ax-i2m1 10602. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
re1m1e0m0	⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10641	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		1re 10638	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rersubcl 39283	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 2, 3	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
6		ax-icn 10593	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 10645	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8		ax-1cn 10592	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	4	recni 10652	. . . . . . 7 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℂ
10	7, 8, 9	addassi 10648	. . . . . 6 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1)))
11		repncan3 39288	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 −ℝ 1)) = 1)
12	2, 2, 11	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 −ℝ 1)) = 1
13	12	oveq2i 7164	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1))) = ((i · i) + 1)
14	10, 13	eqtri 2843	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + 1)
15		ax-i2m1 10602	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
16	15	oveq1i 7163	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = (0 + (1 −ℝ 1))
17	14, 16, 15	3eqtr3i 2851	. . . 4 ⊢ (0 + (1 −ℝ 1)) = 0
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0 + (1 −ℝ 1)) = 0)
19	1, 5, 18	reladdrsub 39290	. 2 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0))
20	19	mptru 1543	1 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Syntax hints:   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7153  ℝcr 10533  0cc0 10534  1c1 10535  ici 10536   + caddc 10537   · cmul 10539   −_ℝ cresub 39270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-addass 10599  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4836  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5457  df-po 5471  df-so 5472  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-ltxr 10677  df-resub 39271

This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  39303  sn-00idlem2  39304  remul02  39310