Theorem sn-0lt1 39295

Description: 0lt1 11162 without ax-mulcom 10601. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10606	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 10641	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10643	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 10754	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 232	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 39250	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
9		relt0neg1 39293	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
11	10	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
12	8, 8, 11, 11	mulgt0d 10795	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
13		resubdi 39275	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14	7, 3, 2, 13	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
15		remul01 39286	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
17		ax-1rid 10607	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
19	16, 18	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
20		renegneg 39290	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
22	14, 19, 21	3eqtri 2848	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
23	12, 22	breqtrdi 5107	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
24		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
25	23, 24	jaoi 853	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
26	5, 25	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   −_ℝ cresub 39244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-2 11701  df-3 11702  df-resub 39245

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  39296