Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  squeeze0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem squeeze0 11118
 Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
squeeze0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0
StepHypRef Expression
1 0re 10232 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 10316 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 708 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 breq2 4808 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5 breq2 4808 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐴))
64, 5imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
76rspcv 3445 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
8 ltnr 10324 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98pm2.21d 118 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴𝐴 = 0))
109com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
1110imim2i 16 . . . . . 6 ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
1211com13 88 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
137, 12syl5d 73 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14 ax-1 6 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1514eqcoms 2768 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1615a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
1713, 16jaod 394 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
183, 17sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19183imp 1102 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804  ℝcr 10127  0cc0 10128   < clt 10266   ≤ cle 10267 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator