Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winalim 9461
 Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim
StepHypRef Expression
1 winainf 9460 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2 winacard 9458 . . 3 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3 cardlim 8742 . . . 4 (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4 sseq2 3606 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5 limeq 5694 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
64, 5bibi12d 335 . . . 4 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
73, 6mpbii 223 . . 3 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91, 8mpbid 222 1 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  Lim wlim 5683  ‘cfv 5847  ωcom 7012  cardccrd 8705  Inaccwcwina 9448 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-card 8709  df-cf 8711  df-wina 9450 This theorem is referenced by:  inar1  9541  inatsk  9544  tskuni  9549  grur1a  9585
 Copyright terms: Public domain W3C validator