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Theorem inar1 9541
Description: (𝑅1𝐴) for 𝐴 a strongly inaccessible cardinal is equipotent to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9456 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
2 winaon 9454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ On)
4 winalim 9461 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → Lim 𝐴)
6 r1lim 8579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
73, 5, 6syl2anc 692 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
8 onelon 5707 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
93, 8sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
11 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
1211breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
1310, 12imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴)))
14 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
1615breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1714, 16imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)))
18 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
19 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2019breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
2118, 20imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
22 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
23 0sdomg 8033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2422, 23syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
25 r10 8575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘∅) = ∅
2625breq1i 4620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅1‘∅) ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴)
2724, 26syl6ibr 242 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
281, 2, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Inacc → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
29 eloni 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
30 ordtr 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → Tr 𝐴)
32 trsuc 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3332ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝐴 → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
343, 31, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Inacc → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
36 r1suc 8577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
37 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅1𝑦) ∈ V
3837cardid 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘(𝑅1𝑦)) ≈ (𝑅1𝑦)
3938ensymi 7950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦))
40 pwen 8077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦))
4236, 41syl6eqbr 4652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
43 winacard 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
45 cardsdom 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅1𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4637, 2, 45sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4744, 46bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
49 elina 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴))
5049simp3bi 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴)
51 pweq 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
5251breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝒫 𝑧𝐴 ↔ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5352rspccv 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴 → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5548, 54sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5655imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴)
57 ensdomtr 8040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5842, 56, 57syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5958expr 642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
6035, 59imim12d 81 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
6160ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))))
62 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
63 r1lim 8579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
6462, 63mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
65 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑧
66 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦(𝑅1𝑧)
67 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦
68 nfiu1 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
6966, 67, 68nfbr 4659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦(𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
70 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1𝑧))
7170breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
72 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
7362, 72iunex 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
74 ssiun2 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
75 ssdomg 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V → ((card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
7673, 74, 75mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
77 endomtr 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7839, 76, 77sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑥 → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8079rgen 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
81 iundom 9308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
8262, 80, 81mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8362, 73unex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V
84 ssun2 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
85 ssdomg 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8762xpdom2 7999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
89 ssun1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
90 ssdomg 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
9283xpdom1 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
94 domtr 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9588, 93, 94mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
96 limomss 7017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
9796, 89syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim 𝑥 → ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
98 ssdomg 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9983, 97, 98mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Lim 𝑥 → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
100 infxpidm 9328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
102 domentr 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10395, 101, 102sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
104 domtr 7953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10582, 103, 104sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10664, 105eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
107106ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
108 eleq1a 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐴))
109 ordirr 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1103, 29, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴𝐴)
111108, 110nsyli 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴 = 𝑥))
112111imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Inacc) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
113112ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
114 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
115 limord 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
11662elon 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
117115, 116sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
118117ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥 ∈ On)
119 cardf 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 card:V⟶On
120 r1fnon 8574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑅1 Fn On
121 dffn2 6004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅1 Fn On ↔ 𝑅1:On⟶V)
122120, 121mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑅1:On⟶V
123 fco 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((card:V⟶On ∧ 𝑅1:On⟶V) → (card ∘ 𝑅1):On⟶On)
124119, 122, 123mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (card ∘ 𝑅1):On⟶On
125 onss 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
126 fssres 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((card ∘ 𝑅1):On⟶On ∧ 𝑥 ⊆ On) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
127124, 125, 126sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
128 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
129118, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
1303ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐴 ∈ On)
131 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
132 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)
133 ontr1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
134133imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦𝑥𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
135130, 131, 132, 134syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
13637, 130, 45sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1371, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐴 ∈ Inacc → (card‘𝐴) = 𝐴)
138137ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (card‘𝐴) = 𝐴)
139138eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
140136, 139bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
141140biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
142135, 141embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
143117ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → 𝑥 ∈ On)
144 fvres 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦𝑥 → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
145144adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
146 onelon 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
147 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅1:On⟶V ∧ 𝑦 ∈ On) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
148122, 146, 147sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
149145, 148eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
150143, 149sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
151150eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
152142, 151sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
153152ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
154153impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴)
155 ffnfv 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
156129, 154, 155sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴)
157 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝑧𝐴𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
158157biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
159 eliun 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)))
160 cardon 8714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
161160onelssi 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦)))
162149sseq2d 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦))))
163161, 162syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
164163reximdva 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ On → (∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
165159, 164syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ On → (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
166158, 165syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
167166expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
168167ralrimiv 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
169168ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
170118, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
171 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((card ∘ 𝑅1):On⟶On → Fun (card ∘ 𝑅1))
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun (card ∘ 𝑅1)
173 resfunexg 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun (card ∘ 𝑅1) ∧ 𝑥 ∈ V) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V)
174172, 62, 173mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V
175 feq1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤:𝑥𝐴 ↔ ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴))
176 fveq1 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤𝑦) = (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
177176sseq2d 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
178177rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
179178ralbidv 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
180175, 179anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → ((𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))))
181174, 180spcev 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)))
182156, 170, 181syl6an 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦))))
1833ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝐴 ∈ On)
184 cfflb 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
185183, 118, 184syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
186182, 185syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
18749simp2bi 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Inacc → (cf‘𝐴) = 𝐴)
188187sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Inacc → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
189188ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
190186, 189sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝐴𝑥))
191 ontri1 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
192183, 118, 191syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
193190, 192sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ¬ 𝑥𝐴))
194114, 193mt2d 131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
195 iunon 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
19662, 195mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
197160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
198196, 197mprg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
199 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
200 eloni 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
201 eloni 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
202 ordequn 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
203200, 201, 202syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
204199, 203syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
205118, 198, 204sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
206113, 194, 205mtord 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)
207 onelss 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
208183, 114, 207sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
209 onelss 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ On → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
210130, 142, 209sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
211210ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
212211impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
213 iunss 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
214212, 213sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
215208, 214unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴)
216 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅))
217 iuneq1 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) = 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)))
218216, 217uneq12d 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))))
219218eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ↔ (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On))
220 0elon 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ∅ ∈ On
221220elimel 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ On
222221elexi 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V
223 iunon 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
224222, 223mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
225160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
226224, 225mprg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
227221, 226onun2i 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On
228219, 227dedth 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ On → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
229117, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
230229adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
2313adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → 𝐴 ∈ On)
232 onsseleq 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
233230, 231, 232syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
234215, 233mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴))
235234orcomd 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
236235ord 392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
237206, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴)
238137ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (card‘𝐴) = 𝐴)
239 iscard 8745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴))
240239simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴)
241 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 ↔ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
242241rspccv 3292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 𝑧𝐴 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
243238, 240, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
244237, 243mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴)
245 domsdomtr 8039 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
246107, 244, 245syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
247246exp43 639 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
248247com4l 92 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
24913, 17, 21, 28, 61, 248tfinds2 7010 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)))
250249impd 447 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))
2519, 250mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
252 sdomdom 7927 . . . . . . 7 ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
253251, 252syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
254253ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
255 iundom 9308 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2563, 254, 255syl2anc 692 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2577, 256eqbrtrd 4635 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
258 winainf 9460 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2591, 258syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → ω ⊆ 𝐴)
260 infxpen 8781 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ω ⊆ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
2613, 259, 260syl2anc 692 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
262 domentr 7959 . . 3 (((𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
263257, 261, 262syl2anc 692 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
264 fvex 6158 . . 3 (𝑅1𝐴) ∈ V
265122fdmi 6009 . . . . 5 dom 𝑅1 = On
2662, 265syl6eleqr 2709 . . . 4 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ dom 𝑅1)
267 onssr1 8638 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2681, 266, 2673syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
269 ssdomg 7945 . . 3 ((𝑅1𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)))
270264, 268, 269mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴))
271 sbth 8024 . 2 (((𝑅1𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
272263, 270, 271syl2anc 692 1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cun 3553  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130   ciun 4485   class class class wbr 4613  Tr wtr 4712   × cxp 5072  dom cdm 5074  cres 5076  ccom 5078  Ord word 5681  Oncon0 5682  Lim wlim 5683  suc csuc 5684  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  ωcom 7012  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898  𝑅1cr1 8569  cardccrd 8705  cfccf 8707  Inaccwcwina 9448  Inacccina 9449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-r1 8571  df-rank 8572  df-card 8709  df-cf 8711  df-acn 8712  df-ac 8883  df-wina 9450  df-ina 9451
This theorem is referenced by:  r1omALT  9542  inatsk  9544
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