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Theorem inar1 9810
Description: (𝑅1𝐴) for 𝐴 a strongly inaccessible cardinal is equipotent to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9725 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
2 winaon 9723 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ On)
4 winalim 9730 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → Lim 𝐴)
6 r1lim 8811 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
73, 5, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
8 onelon 5910 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
93, 8sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10 eleq1 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
11 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
1211breq1d 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
1310, 12imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴)))
14 eleq1 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
1615breq1d 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1714, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)))
18 eleq1 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
19 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2019breq1d 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
2118, 20imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
22 ne0i 4065 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
23 0sdomg 8257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2422, 23syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
25 r10 8807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘∅) = ∅
2625breq1i 4812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅1‘∅) ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴)
2724, 26syl6ibr 242 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
281, 2, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Inacc → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
29 eloni 5895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
30 ordtr 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → Tr 𝐴)
32 trsuc 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3332ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝐴 → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
343, 31, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Inacc → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
36 r1suc 8809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
37 fvex 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅1𝑦) ∈ V
3837cardid 9582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘(𝑅1𝑦)) ≈ (𝑅1𝑦)
3938ensymi 8174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦))
40 pwen 8301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦))
4236, 41syl6eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
43 winacard 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
45 cardsdom 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅1𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4637, 2, 45sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4744, 46bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
49 elina 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴))
5049simp3bi 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴)
51 pweq 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
5251breq1d 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝒫 𝑧𝐴 ↔ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5352rspccv 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴 → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5548, 54sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5655imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴)
57 ensdomtr 8264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5842, 56, 57syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5958expr 644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
6035, 59imim12d 81 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
6160ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))))
62 vex 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
63 r1lim 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
6462, 63mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
65 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑧
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦(𝑅1𝑧)
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦
68 nfiu1 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
6966, 67, 68nfbr 4852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦(𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
70 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1𝑧))
7170breq1d 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
72 fvex 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
7362, 72iunex 7314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
74 ssiun2 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
75 ssdomg 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V → ((card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
7673, 74, 75mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
77 endomtr 8182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7839, 76, 77sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑥 → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8079rgen 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
81 iundom 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
8262, 80, 81mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8362, 73unex 7123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V
84 ssun2 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
85 ssdomg 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8762xpdom2 8223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
89 ssun1 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
90 ssdomg 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
9283xpdom1 8227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
94 domtr 8177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9588, 93, 94mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
96 limomss 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
9796, 89syl6ss 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim 𝑥 → ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
98 ssdomg 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9983, 97, 98mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Lim 𝑥 → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
100 infxpidm 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
102 domentr 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10395, 101, 102sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
104 domtr 8177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10582, 103, 104sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10664, 105eqbrtrd 4827 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
107106ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
108 eleq1a 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐴))
109 ordirr 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1103, 29, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴𝐴)
111108, 110nsyli 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴 = 𝑥))
112111imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Inacc) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
113112ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
114 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
115 limord 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
11662elon 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
117115, 116sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
118117ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥 ∈ On)
119 cardf 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 card:V⟶On
120 r1fnon 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑅1 Fn On
121 dffn2 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅1 Fn On ↔ 𝑅1:On⟶V)
122120, 121mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑅1:On⟶V
123 fco 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((card:V⟶On ∧ 𝑅1:On⟶V) → (card ∘ 𝑅1):On⟶On)
124119, 122, 123mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (card ∘ 𝑅1):On⟶On
125 onss 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
126 fssres 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((card ∘ 𝑅1):On⟶On ∧ 𝑥 ⊆ On) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
127124, 125, 126sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
128 ffn 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
129118, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
1303ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐴 ∈ On)
131 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
132 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)
133 ontr1 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
134133imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦𝑥𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
135130, 131, 132, 134syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
13637, 130, 45sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1371, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐴 ∈ Inacc → (card‘𝐴) = 𝐴)
138137ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (card‘𝐴) = 𝐴)
139138eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
140136, 139bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
141140biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
142135, 141embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
143117ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → 𝑥 ∈ On)
144 fvres 6370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦𝑥 → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
145144adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
146 onelon 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
147 fvco3 6439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅1:On⟶V ∧ 𝑦 ∈ On) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
148122, 146, 147sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
149145, 148eqtrd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
150143, 149sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
151150eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
152142, 151sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
153152ralimdva 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
154153impr 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴)
155 ffnfv 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
156129, 154, 155sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴)
157 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝑧𝐴𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
158157biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
159 eliun 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)))
160 cardon 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
161160onelssi 5998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦)))
162149sseq2d 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦))))
163161, 162syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
164163reximdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ On → (∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
165159, 164syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ On → (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
166158, 165syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
167166expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
168167ralrimiv 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
169168ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
170118, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
171 ffun 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((card ∘ 𝑅1):On⟶On → Fun (card ∘ 𝑅1))
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun (card ∘ 𝑅1)
173 resfunexg 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun (card ∘ 𝑅1) ∧ 𝑥 ∈ V) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V)
174172, 62, 173mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V
175 feq1 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤:𝑥𝐴 ↔ ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴))
176 fveq1 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤𝑦) = (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
177176sseq2d 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
178177rexbidv 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
179178ralbidv 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
180175, 179anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → ((𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))))
181174, 180spcev 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)))
182156, 170, 181syl6an 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦))))
1833ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝐴 ∈ On)
184 cfflb 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
185183, 118, 184syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
186182, 185syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
18749simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Inacc → (cf‘𝐴) = 𝐴)
188187sseq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Inacc → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
189188ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
190186, 189sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝐴𝑥))
191 ontri1 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
192183, 118, 191syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
193190, 192sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ¬ 𝑥𝐴))
194114, 193mt2d 131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
195 iunon 7607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
19662, 195mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
197160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
198196, 197mprg 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
199 eqcom 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
200 eloni 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
201 eloni 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
202 ordequn 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
203200, 201, 202syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
204199, 203syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
205118, 198, 204sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
206113, 194, 205mtord 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)
207 onelss 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
208183, 114, 207sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
209 onelss 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ On → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
210130, 142, 209sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
211210ralimdva 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
212211impr 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
213 iunss 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
214212, 213sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
215208, 214unssd 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴)
216 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅))
217 iuneq1 4687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) = 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)))
218216, 217uneq12d 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))))
219218eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ↔ (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On))
220 0elon 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ∅ ∈ On
221220elimel 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ On
222221elexi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V
223 iunon 7607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
224222, 223mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
225160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
226224, 225mprg 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
227221, 226onun2i 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On
228219, 227dedth 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ On → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
229117, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
230229adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
2313adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → 𝐴 ∈ On)
232 onsseleq 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
233230, 231, 232syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
234215, 233mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴))
235234orcomd 402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
236235ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
237206, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴)
238137ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (card‘𝐴) = 𝐴)
239 iscard 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴))
240239simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴)
241 breq1 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 ↔ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
242241rspccv 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 𝑧𝐴 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
243238, 240, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
244237, 243mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴)
245 domsdomtr 8263 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
246107, 244, 245syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
247246exp43 641 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
248247com4l 92 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
24913, 17, 21, 28, 61, 248tfinds2 7230 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)))
250249impd 446 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))
2519, 250mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
252 sdomdom 8152 . . . . . . 7 ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
253251, 252syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
254253ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
255 iundom 9577 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2563, 254, 255syl2anc 696 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2577, 256eqbrtrd 4827 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
258 winainf 9729 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2591, 258syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → ω ⊆ 𝐴)
260 infxpen 9048 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ω ⊆ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
2613, 259, 260syl2anc 696 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
262 domentr 8183 . . 3 (((𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
263257, 261, 262syl2anc 696 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
264 fvex 6364 . . 3 (𝑅1𝐴) ∈ V
265122fdmi 6214 . . . . 5 dom 𝑅1 = On
2662, 265syl6eleqr 2851 . . . 4 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ dom 𝑅1)
267 onssr1 8870 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2681, 266, 2673syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
269 ssdomg 8170 . . 3 ((𝑅1𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)))
270264, 268, 269mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴))
271 sbth 8248 . 2 (((𝑅1𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
272263, 270, 271syl2anc 696 1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wrex 3052  Vcvv 3341  cun 3714  wss 3716  c0 4059  ifcif 4231  𝒫 cpw 4303   ciun 4673   class class class wbr 4805  Tr wtr 4905   × cxp 5265  dom cdm 5267  cres 5269  ccom 5271  Ord word 5884  Oncon0 5885  Lim wlim 5886  suc csuc 5887  Fun wfun 6044   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  ωcom 7232  cen 8121  cdom 8122  csdm 8123  𝑅1cr1 8801  cardccrd 8972  cfccf 8974  Inaccwcwina 9717  Inacccina 9718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-ac2 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-oi 8583  df-r1 8803  df-rank 8804  df-card 8976  df-cf 8978  df-acn 8979  df-ac 9150  df-wina 9719  df-ina 9720
This theorem is referenced by:  r1omALT  9811  inatsk  9813
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