Theorem notnot 200

Description: Rule of double negation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmid.1	|- A:*

Assertion

Ref	Expression
notnot	|- T. |= [A = (~ (~ A))]

Proof of Theorem notnot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid.1	. . 3 |- A:*
2	1	notnot1 160	. 2 |- A |= (~ (~ A))
3		wnot 138	. . . 4 |- ~ :(* -> *)
4	3, 1	wc 50	. . 3 |- (~ A):*
5	2	ax-cb2 30	. . . 4 |- (~ (~ A)):*
6	1	exmid 199	. . . 4 |- T. |= [A \/ (~ A)]
7	5, 6	a1i 28	. . 3 |- (~ (~ A)) |= [A \/ (~ A)]
8	5, 1	simpr 23	. . 3 |- ((~ (~ A)), A) |= A
9		wfal 135	. . . . 5 |- F.:*
10	5	id 25	. . . . . 6 |- (~ (~ A)) |= (~ (~ A))
11	4	notval 145	. . . . . . 7 |- T. |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
12	5, 11	a1i 28	. . . . . 6 |- (~ (~ A)) |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
13	10, 12	mpbi 82	. . . . 5 |- (~ (~ A)) |= [(~ A) ==> F.]
14	4, 9, 13	imp 157	. . . 4 |- ((~ (~ A)), (~ A)) |= F.
15	1	pm2.21 153	. . . 4 |- F. |= A
16	14, 15	syl 16	. . 3 |- ((~ (~ A)), (~ A)) |= A
17	1, 4, 1, 7, 8, 16	ecase 163	. 2 |- (~ (~ A)) |= A
18	2, 17	dedi 85	1 |- T. |= [A = (~ (~ A))]

Syntax hints:  *hb 3  kc 5   = ke 7  T.kt 8  [kbr 9  kct 10   |= wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  F.tfal 118  ~ tne 120   ==> tim 121   \/ tor 124

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-wat 192  ax-ac 196

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-or 132

This theorem is referenced by:  exnal  201