Theorem notnot 187

Description: Rule of double negation.

Hypothesis

Ref	Expression
exmid.1	|- A:*

Assertion

Ref	Expression
notnot	|- T. |= [A = (~ (~ A))]

Proof of Theorem notnot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid.1	. . 3 |- A:*
2	1	notnot1 150	. 2 |- A |= (~ (~ A))
3		wnot 128	. . . 4 |- ~ :(* -> *)
4	3, 1	wc 45	. . 3 |- (~ A):*
5	2	ax-cb2 30	. . . 4 |- (~ (~ A)):*
6	1	exmid 186	. . . 4 |- T. |= [A \/ (~ A)]
7	5, 6	a1i 28	. . 3 |- (~ (~ A)) |= [A \/ (~ A)]
8	5, 1	simpr 23	. . 3 |- ((~ (~ A)), A) |= A
9		wfal 125	. . . . 5 |- F.:*
10	5	id 25	. . . . . 6 |- (~ (~ A)) |= (~ (~ A))
11	4	notval 135	. . . . . . 7 |- T. |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
12	5, 11	a1i 28	. . . . . 6 |- (~ (~ A)) |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
13	10, 12	mpbi 72	. . . . 5 |- (~ (~ A)) |= [(~ A) ==> F.]
14	4, 9, 13	imp 147	. . . 4 |- ((~ (~ A)), (~ A)) |= F.
15	1	pm2.21 143	. . . 4 |- F. |= A
16	14, 15	syl 16	. . 3 |- ((~ (~ A)), (~ A)) |= A
17	1, 4, 1, 7, 8, 16	ecase 153	. 2 |- (~ (~ A)) |= A
18	2, 17	dedi 75	1 |- T. |= [A = (~ (~ A))]

Syntax hints:  *hb 3  kc 5   = ke 7  T.kt 8  [kbr 9  kct 10   |= wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  F.tfal 108  ~ tne 110   ==> tim 111   \/ tor 114

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103  ax-ac 183

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-fal 117  df-an 118  df-im 119  df-not 120  df-or 122

This theorem is referenced by:  exnal  188