Theorem notnot1 150

Description: One side of notnot 187.

Hypothesis

Ref	Expression
notval2.1	|- A:*

Assertion

Ref	Expression
notnot1	|- A |= (~ (~ A))

Proof of Theorem notnot1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfal 125	. . . 4 |- F.:*
2		notval2.1	. . . . 5 |- A:*
3		wnot 128	. . . . . 6 |- ~ :(* -> *)
4	3, 2	wc 45	. . . . 5 |- (~ A):*
5	2, 4	simpl 22	. . . 4 |- (A, (~ A)) |= A
6	2, 4	simpr 23	. . . . 5 |- (A, (~ A)) |= (~ A)
7	5	ax-cb1 29	. . . . . 6 |- (A, (~ A)):*
8	2	notval 135	. . . . . 6 |- T. |= [(~ A) = [A ==> F.]]
9	7, 8	a1i 28	. . . . 5 |- (A, (~ A)) |= [(~ A) = [A ==> F.]]
10	6, 9	mpbi 72	. . . 4 |- (A, (~ A)) |= [A ==> F.]
11	1, 5, 10	mpd 146	. . 3 |- (A, (~ A)) |= F.
12	11	ex 148	. 2 |- A |= [(~ A) ==> F.]
13	4	notval 135	. . 3 |- T. |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
14	2, 13	a1i 28	. 2 |- A |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
15	12, 14	mpbir 77	1 |- A |= (~ (~ A))

Syntax hints:  *hb 3  kc 5   = ke 7  [kbr 9  kct 10   |= wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  F.tfal 108  ~ tne 110   ==> tim 111

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-fal 117  df-an 118  df-im 119  df-not 120

This theorem is referenced by:  con3d  152  exnal1  175  notnot  187  ax9  199