Theorem notnot1 160

Description: One side of notnot 200. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
notval2.1	|- A:*

Assertion

Ref	Expression
notnot1	|- A |= (~ (~ A))

Proof of Theorem notnot1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfal 135	. . . 4 |- F.:*
2		notval2.1	. . . . 5 |- A:*
3		wnot 138	. . . . . 6 |- ~ :(* -> *)
4	3, 2	wc 50	. . . . 5 |- (~ A):*
5	2, 4	simpl 22	. . . 4 |- (A, (~ A)) |= A
6	2, 4	simpr 23	. . . . 5 |- (A, (~ A)) |= (~ A)
7	5	ax-cb1 29	. . . . . 6 |- (A, (~ A)):*
8	2	notval 145	. . . . . 6 |- T. |= [(~ A) = [A ==> F.]]
9	7, 8	a1i 28	. . . . 5 |- (A, (~ A)) |= [(~ A) = [A ==> F.]]
10	6, 9	mpbi 82	. . . 4 |- (A, (~ A)) |= [A ==> F.]
11	1, 5, 10	mpd 156	. . 3 |- (A, (~ A)) |= F.
12	11	ex 158	. 2 |- A |= [(~ A) ==> F.]
13	4	notval 145	. . 3 |- T. |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
14	2, 13	a1i 28	. 2 |- A |= [(~ (~ A)) = [(~ A) ==> F.]]
15	12, 14	mpbir 87	1 |- A |= (~ (~ A))

Syntax hints:  *hb 3  kc 5   = ke 7  [kbr 9  kct 10   |= wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  F.tfal 118  ~ tne 120   ==> tim 121

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130

This theorem is referenced by:  con3d  162  exnal1  187  notnot  200  ax9  212