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Theorem exmid 199
 Description: Diaconescu's theorem, which derives the law of the excluded middle from the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
exmid.1
Assertion
Ref Expression
exmid

Proof of Theorem exmid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wat 193 . . 3
2 wor 140 . . . . 5
3 wv 64 . . . . 5
4 exmid.1 . . . . 5
52, 3, 4wov 72 . . . 4
65wl 66 . . 3
71, 6wc 50 . 2
8 wnot 138 . . . 4
98, 4wc 50 . . 3
102, 4, 9wov 72 . 2
11 wtru 43 . . . . . 6
1211, 4orc 165 . . . . 5
133, 11weqi 76 . . . . . . . 8
1413id 25 . . . . . . 7
152, 3, 4, 14oveq1 99 . . . . . 6
165, 11, 15cl 116 . . . . 5
1712, 16mpbir 87 . . . 4
186, 11ac 197 . . . 4
1917, 18syl 16 . . 3
203, 7weqi 76 . . . . . 6
2120id 25 . . . . 5
222, 3, 4, 21oveq1 99 . . . 4
23 wv 64 . . . . 5
242, 23ax-17 105 . . . . 5
251, 23ax-17 105 . . . . . 6
265, 23ax-hbl1 103 . . . . . 6
271, 6, 23, 25, 26hbc 110 . . . . 5
284, 23ax-17 105 . . . . 5
292, 7, 23, 4, 24, 27, 28hbov 111 . . . 4
305, 7, 22, 29, 27clf 115 . . 3
3119, 30mpbi 82 . 2
328, 3wc 50 . . . . . . . 8
332, 32, 4wov 72 . . . . . . 7
3433wl 66 . . . . . 6
351, 34wc 50 . . . . 5
368, 35wc 50 . . . 4
37 wfal 135 . . . . . . . . 9
383, 37weqi 76 . . . . . . . . . . . . 13
3938id 25 . . . . . . . . . . . 12
408, 3, 39ceq2 90 . . . . . . . . . . 11
4111, 37simpr 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241ex 158 . . . . . . . . . . . . . . 15
4337notval 145 . . . . . . . . . . . . . . 15
4442, 43mpbir 87 . . . . . . . . . . . . . 14
4544eqtru 86 . . . . . . . . . . . . 13
4611, 45eqcomi 79 . . . . . . . . . . . 12
4738, 46a1i 28 . . . . . . . . . . 11
4832, 40, 47eqtri 95 . . . . . . . . . 10
492, 32, 4, 48oveq1 99 . . . . . . . . 9
5033, 37, 49cl 116 . . . . . . . 8
5112, 50mpbir 87 . . . . . . 7
5234, 37ac 197 . . . . . . 7
5351, 52syl 16 . . . . . 6
543, 35weqi 76 . . . . . . . . . 10
5554id 25 . . . . . . . . 9
568, 3, 55ceq2 90 . . . . . . . 8
572, 32, 4, 56oveq1 99 . . . . . . 7
588, 23ax-17 105 . . . . . . . . 9
5933, 23ax-hbl1 103 . . . . . . . . . 10
601, 34, 23, 25, 59hbc 110 . . . . . . . . 9
618, 35, 23, 58, 60hbc 110 . . . . . . . 8
622, 36, 23, 4, 24, 61, 28hbov 111 . . . . . . 7
6333, 35, 57, 62, 60clf 115 . . . . . 6
6453, 63mpbi 82 . . . . 5
657, 64a1i 28 . . . 4
667, 36wct 48 . . . . . . . . . . 11
6766, 4simpl 22 . . . . . . . . . 10
6867simpld 37 . . . . . . . . 9
693, 4olc 164 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069eqtru 86 . . . . . . . . . . . . . 14
7111, 70eqcomi 79 . . . . . . . . . . . . 13
7232, 4olc 164 . . . . . . . . . . . . . 14
7372eqtru 86 . . . . . . . . . . . . 13
745, 71, 73eqtri 95 . . . . . . . . . . . 12
755, 74leq 91 . . . . . . . . . . 11
761, 6, 75ceq2 90 . . . . . . . . . 10
7776, 66adantl 56 . . . . . . . . 9
7868, 77mpbi 82 . . . . . . . 8
7967simprd 38 . . . . . . . . 9
8067ax-cb1 29 . . . . . . . . . 10
8135notval 145 . . . . . . . . . 10
8280, 81a1i 28 . . . . . . . . 9
8379, 82mpbi 82 . . . . . . . 8
8437, 78, 83mpd 156 . . . . . . 7
8584ex 158 . . . . . 6
864notval 145 . . . . . . 7
8766, 86a1i 28 . . . . . 6
8885, 87mpbir 87 . . . . 5
894, 9olc 164 . . . . 5
9088, 89syl 16 . . . 4
914, 9orc 165 . . . . 5
9291, 7adantl 56 . . . 4
9336, 4, 10, 65, 90, 92ecase 163 . . 3