Theorem notnot 200

Description: Rule of double negation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmid.1	⊢ A:∗

Assertion

Ref	Expression
notnot	⊢ ⊤⊧[A = (¬ (¬ A))]

Proof of Theorem notnot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid.1	. . 3 ⊢ A:∗
2	1	notnot1 160	. 2 ⊢ A⊧(¬ (¬ A))
3		wnot 138	. . . 4 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
4	3, 1	wc 50	. . 3 ⊢ (¬ A):∗
5	2	ax-cb2 30	. . . 4 ⊢ (¬ (¬ A)):∗
6	1	exmid 199	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[A ∨ (¬ A)]
7	5, 6	a1i 28	. . 3 ⊢ (¬ (¬ A))⊧[A ∨ (¬ A)]
8	5, 1	simpr 23	. . 3 ⊢ ((¬ (¬ A)), A)⊧A
9		wfal 135	. . . . 5 ⊢ ⊥:∗
10	5	id 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (¬ A))⊧(¬ (¬ A))
11	4	notval 145	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(¬ (¬ A)) = [(¬ A) ⇒ ⊥]]
12	5, 11	a1i 28	. . . . . 6 ⊢ (¬ (¬ A))⊧[(¬ (¬ A)) = [(¬ A) ⇒ ⊥]]
13	10, 12	mpbi 82	. . . . 5 ⊢ (¬ (¬ A))⊧[(¬ A) ⇒ ⊥]
14	4, 9, 13	imp 157	. . . 4 ⊢ ((¬ (¬ A)), (¬ A))⊧⊥
15	1	pm2.21 153	. . . 4 ⊢ ⊥⊧A
16	14, 15	syl 16	. . 3 ⊢ ((¬ (¬ A)), (¬ A))⊧A
17	1, 4, 1, 7, 8, 16	ecase 163	. 2 ⊢ (¬ (¬ A))⊧A
18	2, 17	dedi 85	1 ⊢ ⊤⊧[A = (¬ (¬ A))]

Syntax hints:  ∗hb 3  kc 5   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ⊥tfal 118  ¬ tne 120   ⇒ tim 121   ∨ tor 124

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-wat 192  ax-ac 196

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-or 132

This theorem is referenced by:  exnal  201