Theorem ralm 3519

Description: Inhabited classes and restricted quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ralm	|- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Proof of Theorem ralm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2453	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
2	1	imbi2i 225	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
3		19.38 1669	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
5		pm2.43 53	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x e. A -> ph ) )
6	5	alimi 1448	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
7	4, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
8	7, 1	sylibr 133	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x e. A ph )
9		ax-1 6	. 2 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
10	8, 9	impbii 125	1 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-4 1503  ax-ial 1527  ax-i5r 1528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-ral 2453

This theorem is referenced by:  raaan  3521