Theorem ralm 3554

Description: Inhabited classes and restricted quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ralm	|- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Proof of Theorem ralm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
2	1	imbi2i 226	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
3		19.38 1690	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
5		pm2.43 53	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x e. A -> ph ) )
6	5	alimi 1469	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
7	4, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
8	7, 1	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x e. A ph )
9		ax-1 6	. 2 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
10	8, 9	impbii 126	1 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raaan  3556