Theorem raaan 3574

Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
raaan.1	|- F/ y ph
raaan.2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
raaan	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem raaan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raaan.1	. . . 4 |- F/ y ph
2		raaan.2	. . . 4 |- F/ x ps
3	1, 2	raaanlem 3573	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
4	3	pm5.74i 180	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
5		ralm 3572	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
6		jcab 603	. . 3 |- ( ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) <-> ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) /\ ( E. x x e. A -> A. y e. A ps ) ) )
7		ralm 3572	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )
8		eleq1 2270	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
9	8	cbvexv 1943	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
10	9	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. y e. A ps ) <-> ( E. y y e. A -> A. y e. A ps ) )
11		ralm 3572	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A -> A. y e. A ps ) <-> A. y e. A ps )
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. y e. A ps ) <-> A. y e. A ps )
13	7, 12	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) /\ ( E. x x e. A -> A. y e. A ps ) ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )
14	6, 13	bitri 184	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )
15	4, 5, 14	3bitr3i 210	1 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   F/wnf 1484   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491

This theorem is referenced by:  raaanv  3575