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Theorem raaan 3386
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
raaan.1  |-  F/ y
ph
raaan.2  |-  F/ x ps
Assertion
Ref Expression
raaan  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem raaan
StepHypRef Expression
1 raaan.1 . . . 4  |-  F/ y
ph
2 raaan.2 . . . 4  |-  F/ x ps
31, 2raaanlem 3385 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
43pm5.74i 178 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
5 ralm 3384 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
6 jcab 570 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  <->  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  /\  ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps ) ) )
7 ralm 3384 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  A. x  e.  A  ph )
8 eleq1 2150 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
98cbvexv 1843 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
109imbi1i 236 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  ( E. y  y  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )
)
11 ralm 3384 . . . . 5  |-  ( ( E. y  y  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  A. y  e.  A  ps )
1210, 11bitri 182 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  A. y  e.  A  ps )
137, 12anbi12i 448 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  /\  ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
146, 13bitri 182 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
154, 5, 143bitr3i 208 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   F/wnf 1394   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364
This theorem is referenced by:  raaanv  3387
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