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Theorem raaan 3470
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
raaan.1  |-  F/ y
ph
raaan.2  |-  F/ x ps
Assertion
Ref Expression
raaan  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem raaan
StepHypRef Expression
1 raaan.1 . . . 4  |-  F/ y
ph
2 raaan.2 . . . 4  |-  F/ x ps
31, 2raaanlem 3469 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
43pm5.74i 179 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
5 ralm 3468 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
6 jcab 593 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  <->  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  /\  ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps ) ) )
7 ralm 3468 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  A. x  e.  A  ph )
8 eleq1 2203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
98cbvexv 1891 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
109imbi1i 237 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  ( E. y  y  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )
)
11 ralm 3468 . . . . 5  |-  ( ( E. y  y  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  A. y  e.  A  ps )
1210, 11bitri 183 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )  <->  A. y  e.  A  ps )
137, 12anbi12i 456 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  /\  ( E. x  x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
146, 13bitri 183 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
154, 5, 143bitr3i 209 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   F/wnf 1437   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422
This theorem is referenced by:  raaanv  3471
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