Theorem raaanlem 3555

Description: Special case of raaan 3556 where A is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
raaan.1	|- F/ y ph
raaan.2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
raaanlem	|- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem raaanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
2	1	cbvexv 1933	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
3		raaan.1	. . . . 5 |- F/ y ph
4	3	r19.28m 3540	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
5	4	ralbidv 2497	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
6	2, 5	sylbi 121	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
7		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ x A
8		raaan.2	. . . 4 |- F/ x ps
9	7, 8	nfralxy 2535	. . 3 |- F/ x A. y e. A ps
10	9	r19.27m 3546	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
11	6, 10	bitrd 188	1 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   F/wnf 1474   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raaan  3556