Theorem ce2le 6234

Description: Partial ordering law for base two cardinal exponentiation. Theorem 4.8 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 16-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ce2le	|- (((M e. NC /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) /\ M <_c N) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N))

Proof of Theorem ce2le

Dummy variables y p q r s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ce0t 6233	. . . 4 |- ((N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> E.p e. NC N = Tc p)
2	1	3adant1 973	. . 3 |- ((M e. NC /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> E.p e. NC N = Tc p)
3	2	adantr 451	. 2 |- (((M e. NC /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) /\ M <_c N) -> E.p e. NC N = Tc p)
4		letc 6232	. . . . . . . . 9 |- ((M e. NC /\ p e. NC /\ M <_c Tc p) -> E.q e. NC M = Tc q)
5		tlecg 6231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((q e. NC /\ p e. NC ) -> (q <_c p <-> Tc q <_c Tc p))
6	5	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((p e. NC /\ q e. NC ) -> (q <_c p <-> Tc q <_c Tc p))
7		elncs 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (q e. NC <-> E.x q = Nc x)
8		elncs 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (p e. NC <-> E.y p = Nc y)
9	7, 8	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((q e. NC /\ p e. NC ) <-> (E.x q = Nc x /\ E.y p = Nc y))
10		eeanv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.xE.y(q = Nc x /\ p = Nc y) <-> (E.x q = Nc x /\ E.y p = Nc y))
11	9, 10	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((q e. NC /\ p e. NC ) <-> E.xE.y(q = Nc x /\ p = Nc y))
12		enpw 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (p ~~ x -> ~Pp ~~ ~Px)
13		elnc 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (p e. Nc x <-> p ~~ x)
14		elnc 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (~Pp e. Nc ~Px <-> ~Pp ~~ ~Px)
15	12, 13, 14	3imtr4i 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (p e. Nc x -> ~Pp e. Nc ~Px)
16	15	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((p e. Nc x /\ q e. Nc y) -> ~Pp e. Nc ~Px)
17	16	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((p e. Nc x /\ q e. Nc y) /\ p C_ q) -> ~Pp e. Nc ~Px)
18		enpw 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (q ~~ y -> ~Pq ~~ ~Py)
19		elnc 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (q e. Nc y <-> q ~~ y)
20		elnc 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (~Pq e. Nc ~Py <-> ~Pq ~~ ~Py)
21	18, 19, 20	3imtr4i 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (q e. Nc y -> ~Pq e. Nc ~Py)
22	21	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((p e. Nc x /\ q e. Nc y) -> ~Pq e. Nc ~Py)
23	22	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((p e. Nc x /\ q e. Nc y) /\ p C_ q) -> ~Pq e. Nc ~Py)
24		sspwb 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (p C_ q <-> ~Pp C_ ~Pq)
25	24	biimpi 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (p C_ q -> ~Pp C_ ~Pq)
26	25	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((p e. Nc x /\ q e. Nc y) /\ p C_ q) -> ~Pp C_ ~Pq)
27		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (r = ~Pp -> (r C_ s <-> ~Pp C_ s))
28		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (s = ~Pq -> (~Pp C_ s <-> ~Pp C_ ~Pq))
29	27, 28	rspc2ev 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((~Pp e. Nc ~Px /\ ~Pq e. Nc ~Py /\ ~Pp C_ ~Pq) -> E.r e. Nc ~PxE.s e. Nc ~Pyr C_ s)
30	17, 23, 26, 29	syl3anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((p e. Nc x /\ q e. Nc y) /\ p C_ q) -> E.r e. Nc ~PxE.s e. Nc ~Pyr C_ s)
31	30	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((p e. Nc x /\ q e. Nc y) -> (p C_ q -> E.r e. Nc ~PxE.s e. Nc ~Pyr C_ s))
32	31	rexlimivv 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.p e. Nc xE.q e. Nc yp C_ q -> E.r e. Nc ~PxE.s e. Nc ~Pyr C_ s)
33		ncex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Nc x e. _V
34		ncex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Nc y e. _V
35	33, 34	brlec 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Nc x <_c Nc y <-> E.p e. Nc xE.q e. Nc yp C_ q)
36		ncex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Nc ~Px e. _V
37		ncex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Nc ~Py e. _V
38	36, 37	brlec 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Nc ~Px <_c Nc ~Py <-> E.r e. Nc ~PxE.s e. Nc ~Pyr C_ s)
39	32, 35, 38	3imtr4i 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Nc x <_c Nc y -> Nc ~Px <_c Nc ~Py)
40		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- x e. _V
41	40	tcnc 6226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Tc Nc x = Nc ~P1 x
42	40	ce2 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tc Nc x = Nc ~P1 x -> (2c ↑c Tc Nc x) = Nc ~Px)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (2c ↑c Tc Nc x) = Nc ~Px
44		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
45	44	tcnc 6226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Tc Nc y = Nc ~P1 y
46	44	ce2 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tc Nc y = Nc ~P1 y -> (2c ↑c Tc Nc y) = Nc ~Py)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (2c ↑c Tc Nc y) = Nc ~Py
48	39, 43, 47	3brtr4g 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Nc x <_c Nc y -> (2c ↑c Tc Nc x) <_c (2c ↑c Tc Nc y))
49		breq12 4645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((q = Nc x /\ p = Nc y) -> (q <_c p <-> Nc x <_c Nc y))
50		tceq 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (q = Nc x -> Tc q = Tc Nc x)
51	50	oveq2d 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (q = Nc x -> (2c ↑c Tc q) = (2c ↑c Tc Nc x))
52		tceq 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (p = Nc y -> Tc p = Tc Nc y)
53	52	oveq2d 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (p = Nc y -> (2c ↑c Tc p) = (2c ↑c Tc Nc y))
54	51, 53	breqan12d 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((q = Nc x /\ p = Nc y) -> ((2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p) <-> (2c ↑c Tc Nc x) <_c (2c ↑c Tc Nc y)))
55	49, 54	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((q = Nc x /\ p = Nc y) -> ((q <_c p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)) <-> ( Nc x <_c Nc y -> (2c ↑c Tc Nc x) <_c (2c ↑c Tc Nc y))))
56	48, 55	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((q = Nc x /\ p = Nc y) -> (q <_c p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
57	56	exlimivv 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.xE.y(q = Nc x /\ p = Nc y) -> (q <_c p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
58	11, 57	sylbi 187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((q e. NC /\ p e. NC ) -> (q <_c p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
59	58	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((p e. NC /\ q e. NC ) -> (q <_c p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
60	6, 59	sylbird 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((p e. NC /\ q e. NC ) -> ( Tc q <_c Tc p -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
61	60	imp 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((p e. NC /\ q e. NC ) /\ Tc q <_c Tc p) -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p))
62	61	an32s 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((p e. NC /\ Tc q <_c Tc p) /\ q e. NC ) -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p))
63		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (M = Tc q -> (M <_c Tc p <-> Tc q <_c Tc p))
64	63	anbi2d 684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (M = Tc q -> ((p e. NC /\ M <_c Tc p) <-> (p e. NC /\ Tc q <_c Tc p)))
65	64	anbi1d 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M = Tc q -> (((p e. NC /\ M <_c Tc p) /\ q e. NC ) <-> ((p e. NC /\ Tc q <_c Tc p) /\ q e. NC )))
66		oveq2 5532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (M = Tc q -> (2c ↑c M) = (2c ↑c Tc q))
67	66	breq1d 4650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M = Tc q -> ((2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p) <-> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p)))
68	65, 67	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M = Tc q -> ((((p e. NC /\ M <_c Tc p) /\ q e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)) <-> (((p e. NC /\ Tc q <_c Tc p) /\ q e. NC ) -> (2c ↑c Tc q) <_c (2c ↑c Tc p))))
69	62, 68	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . 12 |- (M = Tc q -> (((p e. NC /\ M <_c Tc p) /\ q e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)))
70	69	com12 27	. . . . . . . . . . 11 |- (((p e. NC /\ M <_c Tc p) /\ q e. NC ) -> (M = Tc q -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)))
71	70	rexlimdva 2739	. . . . . . . . . 10 |- ((p e. NC /\ M <_c Tc p) -> (E.q e. NC M = Tc q -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)))
72	71	3adant1 973	. . . . . . . . 9 |- ((M e. NC /\ p e. NC /\ M <_c Tc p) -> (E.q e. NC M = Tc q -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)))
73	4, 72	mpd 14	. . . . . . . 8 |- ((M e. NC /\ p e. NC /\ M <_c Tc p) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p))
74	73	3expa 1151	. . . . . . 7 |- (((M e. NC /\ p e. NC ) /\ M <_c Tc p) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p))
75	74	an32s 779	. . . . . 6 |- (((M e. NC /\ M <_c Tc p) /\ p e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p))
76		breq2 4644	. . . . . . . . 9 |- (N = Tc p -> (M <_c N <-> M <_c Tc p))
77	76	anbi2d 684	. . . . . . . 8 |- (N = Tc p -> ((M e. NC /\ M <_c N) <-> (M e. NC /\ M <_c Tc p)))
78	77	anbi1d 685	. . . . . . 7 |- (N = Tc p -> (((M e. NC /\ M <_c N) /\ p e. NC ) <-> ((M e. NC /\ M <_c Tc p) /\ p e. NC )))
79		oveq2 5532	. . . . . . . 8 |- (N = Tc p -> (2c ↑c N) = (2c ↑c Tc p))
80	79	breq2d 4652	. . . . . . 7 |- (N = Tc p -> ((2c ↑c M) <_c (2c ↑c N) <-> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p)))
81	78, 80	imbi12d 311	. . . . . 6 |- (N = Tc p -> ((((M e. NC /\ M <_c N) /\ p e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N)) <-> (((M e. NC /\ M <_c Tc p) /\ p e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c Tc p))))
82	75, 81	mpbiri 224	. . . . 5 |- (N = Tc p -> (((M e. NC /\ M <_c N) /\ p e. NC ) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N)))
83	82	com12 27	. . . 4 |- (((M e. NC /\ M <_c N) /\ p e. NC ) -> (N = Tc p -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N)))
84	83	rexlimdva 2739	. . 3 |- ((M e. NC /\ M <_c N) -> (E.p e. NC N = Tc p -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N)))
85	84	3ad2antl1 1117	. 2 |- (((M e. NC /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) /\ M <_c N) -> (E.p e. NC N = Tc p -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N)))
86	3, 85	mpd 14	1 |- (((M e. NC /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) /\ M <_c N) -> (2c ↑c M) <_c (2c ↑c N))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616   C_ wss 3258  ~Pcpw 3723  ~P₁ cpw1 4136  0_cc0c 4375   class class class wbr 4640  (class class class)co 5526   ~~ cen 6029   NC cncs 6089   <__c clec 6090   Nc cnc 6092   T_c ctc 6094  2_cc2c 6095   ↑_c cce 6097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-compose 5749  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-pw1fn 5767  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-map 6002  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-tc 6104  df-2c 6105  df-ce 6107

This theorem is referenced by:  nchoicelem9  6298