Theorem breq1 4642

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
breq1	|- (A = B -> (ARC <-> BRC))

Proof of Theorem breq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4578	. . 3 |- (A = B -> <.A, C>. = <.B, C>.)
2	1	eleq1d 2419	. 2 |- (A = B -> (<.A, C>. e. R <-> <.B, C>. e. R))
3		df-br 4640	. 2 |- (ARC <-> <.A, C>. e. R)
4		df-br 4640	. 2 |- (BRC <-> <.B, C>. e. R)
5	2, 3, 4	3bitr4g 279	1 |- (A = B -> (ARC <-> BRC))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   = wceq 1642   e. wcel 1710  <.cop 4561   class class class wbr 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-br 4640

This theorem is referenced by:  breq12  4644  breq1i  4646  breq1d  4649  nbrne2  4657  brab1  4684  vtoclr  4816  brco  4883  brcnv  4892  dfdmf  4905  elimapw1  4944  dfrnf  4962  dfres2  5002  imasn  5018  coi1  5094  dffun6f  5123  funmo  5125  fun11  5159  fneu  5187  fveq2  5328  nfunsn  5353  dmfco  5381  dff13  5471  isorel  5489  isocnv  5491  isotr  5495  isomin  5496  isoini  5497  f1oiso  5499  f1oiso2  5500  funsi  5520  caovord  5629  caovord3  5631  brsnsi  5773  brsnsi1  5775  brco1st  5777  brco2nd  5778  trtxp  5781  elfix  5787  op1st2nd  5790  brimage  5793  txpcofun  5803  otsnelsi3  5805  addcfnex  5824  qrpprod  5836  brpprod  5839  dmpprod  5840  fnpprod  5843  clos1ex  5876  clos1conn  5879  clos1basesuc  5882  trd  5921  symd  5924  antid  5929  connexd  5931  weds  5938  en0  6042  fndmeng  6046  endisj  6051  xpassenlem  6056  xpassen  6057  enpw1  6062  enmap2  6068  enpw1pw  6075  nenpw1pwlem2  6085  enpw  6087  lecex  6115  ovmuc  6130  mucnc  6131  mucex  6133  ncdisjun  6136  ceexlem1  6173  ceex  6174  elce  6175  ltlenlec  6207  leltctr  6212  leconnnc  6218  lenc  6223  ce2le  6233  ce0lenc1  6239  tcfnex  6244  nclenn  6249  csucex  6259  addccan2nclem1  6263  ncslesuc  6267  nmembers1lem1  6268  nmembers1lem3  6270  nncdiv3lem1  6275  nncdiv3lem2  6276  nnc3n3p1  6278  spacvallem1  6281  nchoicelem11  6299  nchoicelem16  6304  nchoicelem19  6307  fnfreclem3  6319  fnfrec  6320  frecsuc  6322