Theorem ceclnn1 6189

Description: Closure law for cardinal exponentiation when the base is a natural. (Contributed by SF, 13-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceclnn1	|- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> (M ↑c N) e. NC )

Proof of Theorem ceclnn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnc 6146	. . 3 |- (M e. Nn -> M e. NC )
2	1	3ad2ant1 976	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> M e. NC )
3		simp2 956	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> N e. NC )
4		ce0nn 6180	. . . 4 |- (M e. Nn -> (M ↑c 0c) =/= (/))
5		ce0nulnc 6184	. . . . 5 |- (M e. NC -> ((M ↑c 0c) =/= (/) <-> (M ↑c 0c) e. NC ))
6	1, 5	syl 15	. . . 4 |- (M e. Nn -> ((M ↑c 0c) =/= (/) <-> (M ↑c 0c) e. NC ))
7	4, 6	mpbid 201	. . 3 |- (M e. Nn -> (M ↑c 0c) e. NC )
8	7	3ad2ant1 976	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> (M ↑c 0c) e. NC )
9		simp3 957	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> (N ↑c 0c) e. NC )
10		cecl 6186	. 2 |- (((M e. NC /\ N e. NC ) /\ ((M ↑c 0c) e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC )) -> (M ↑c N) e. NC )
11	2, 3, 8, 9, 10	syl22anc 1183	1 |- ((M e. Nn /\ N e. NC /\ (N ↑c 0c) e. NC ) -> (M ↑c N) e. NC )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ w3a 934   e. wcel 1710   =/= wne 2516  (/)c0 3550   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374  (class class class)co 5525   NC cncs 6088   ↑_c cce 6096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-fullfun 5768  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106

This theorem is referenced by:  spaccl  6286  nchoicelem4  6292  nchoicelem6  6294  nchoicelem9  6297  nchoicelem12  6300  nchoicelem14  6302  nchoicelem17  6305