Theorem nchoicelem17 6305

Description: Lemma for nchoice 6308. If the special set of a cardinal is finite, then so is the special set of its T-raising, and there is a calculable relationship between their sizes. Theorem 7.2 of [Specker] p. 974. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nchoicelem17	|- (( <_c We NC /\ M e. NC /\ ( Spac ` M) e. Fin ) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))

Proof of Theorem nchoicelem17

Dummy variables k m n t x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnc 6243	. . 3 |- (( Spac ` M) e. Fin <-> Nc ( Spac ` M) e. Nn )
2		risset 2661	. . . 4 |- ( Nc ( Spac ` M) e. Nn <-> E.t e. Nn t = Nc ( Spac ` M))
3		nchoicelem13 6301	. . . . . . 7 |- (M e. NC -> 1c <_c Nc ( Spac ` M))
4	3	ad2antlr 707	. . . . . 6 |- ((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) -> 1c <_c Nc ( Spac ` M))
5		1cnc 6139	. . . . . . . 8 |- 1c e. NC
6		fvex 5339	. . . . . . . . 9 |- ( Spac ` M) e. _V
7	6	ncelncsi 6121	. . . . . . . 8 |- Nc ( Spac ` M) e. NC
8		dflec2 6210	. . . . . . . 8 |- ((1c e. NC /\ Nc ( Spac ` M) e. NC ) -> (1c <_c Nc ( Spac ` M) <-> E.x e. NC Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)))
9	5, 7, 8	mp2an 653	. . . . . . 7 |- (1c <_c Nc ( Spac ` M) <-> E.x e. NC Nc ( Spac ` M) = (1c +o x))
10		eqtr 2370	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t = Nc ( Spac ` M) /\ Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)) -> t = (1c +o x))
11	10	ancoms 439	. . . . . . . . . . 11 |- (( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) /\ t = Nc ( Spac ` M)) -> t = (1c +o x))
12		eqtr2 2371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t = Nc ( Spac ` M) /\ t = (1c +o x)) -> Nc ( Spac ` M) = (1c +o x))
13	12	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = Nc ( Spac ` M) -> (t = (1c +o x) -> Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)))
14	13	adantl 452	. . . . . . . . . . 11 |- (( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) /\ t = Nc ( Spac ` M)) -> (t = (1c +o x) -> Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)))
15	11, 14	jcai 522	. . . . . . . . . 10 |- (( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) /\ t = Nc ( Spac ` M)) -> (t = (1c +o x) /\ Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)))
16		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = 1c -> (x +o k) = (x +o 1c))
17		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x +o 1c) = (1c +o x)
18	16, 17	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = 1c -> (x +o k) = (1c +o x))
19	18	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = 1c -> (t = (x +o k) <-> t = (1c +o x)))
20	19	rspcev 2955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1c e. NC /\ t = (1c +o x)) -> E.k e. NC t = (x +o k))
21	5, 20	mpan 651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t = (1c +o x) -> E.k e. NC t = (x +o k))
22		nnnc 6146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. Nn -> t e. NC )
23		dflec2 6210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. NC /\ t e. NC ) -> (x <_c t <-> E.k e. NC t = (x +o k)))
24	22, 23	sylan2 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. NC /\ t e. Nn ) -> (x <_c t <-> E.k e. NC t = (x +o k)))
25	24	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t e. Nn /\ x e. NC ) -> (x <_c t <-> E.k e. NC t = (x +o k)))
26	21, 25	syl5ibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. Nn /\ x e. NC ) -> (t = (1c +o x) -> x <_c t))
27	26	adantll 694	. . . . . . . . . . . 12 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> (t = (1c +o x) -> x <_c t))
28		nclenn 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. NC /\ t e. Nn /\ x <_c t) -> x e. Nn )
29	28	3expia 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. NC /\ t e. Nn ) -> (x <_c t -> x e. Nn ))
30	29	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. Nn /\ x e. NC ) -> (x <_c t -> x e. Nn ))
31	30	adantll 694	. . . . . . . . . . . 12 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> (x <_c t -> x e. Nn ))
32		nchoicelem16 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {t | ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))} e. _V
33		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (t = 0c -> (1c +o t) = (1c +o 0c))
34		addcid1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (1c +o 0c) = 1c
35	33, 34	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = 0c -> (1c +o t) = 1c)
36	35	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = 0c -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) <-> Nc ( Spac ` m) = 1c))
37	36	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = 0c -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
38	37	ralbidv 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = 0c -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
39	38	imbi2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = 0c -> (( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) <-> ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))))
40		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = n -> (1c +o t) = (1c +o n))
41	40	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = n -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) <-> Nc ( Spac ` m) = (1c +o n)))
42	41	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = n -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
43	42	ralbidv 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = n -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
44	43	imbi2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = n -> (( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) <-> ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))))
45		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (t = (n +o 1c) -> (1c +o t) = (1c +o (n +o 1c)))
46	45	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = (n +o 1c) -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) <-> Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c))))
47	46	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = (n +o 1c) -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
48	47	ralbidv 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = (n +o 1c) -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
49		fveq2 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (m = k -> ( Spac ` m) = ( Spac ` k))
50	49	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = k -> Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` k))
51	50	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = k -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c)) <-> Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c))))
52		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (m = k -> Tc m = Tc k)
53	52	fveq2d 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (m = k -> ( Spac ` Tc m) = ( Spac ` Tc k))
54	53	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = k -> (( Spac ` Tc m) e. Fin <-> ( Spac ` Tc k) e. Fin ))
55	53	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (m = k -> Nc ( Spac ` Tc m) = Nc ( Spac ` Tc k))
56		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` k) -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` k))
57	50, 56	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (m = k -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` k))
58	57	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (m = k -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c))
59	55, 58	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (m = k -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c)))
60	57	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (m = k -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))
61	55, 60	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (m = k -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) <-> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))
62	59, 61	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = k -> (( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))
63	54, 62	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = k -> ((( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))) <-> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
64	51, 63	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = k -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))))
65	64	cbvralv 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
66	48, 65	syl6bb 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = (n +o 1c) -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))))
67	66	imbi2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = (n +o 1c) -> (( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) <-> ( <_c We NC -> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
68		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = x -> (1c +o t) = (1c +o x))
69	68	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = x -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) <-> Nc ( Spac ` m) = (1c +o x)))
70	69	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = x -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
71	70	ralbidv 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = x -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
72	71	imbi2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t = x -> (( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o t) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) <-> ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))))
73		nchoicelem14 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. NC /\ Nc ( Spac ` m) = 1c) -> -. (m ↑c 0c) e. NC )
74	73	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m e. NC -> ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> -. (m ↑c 0c) e. NC ))
75	74	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (( <_c We NC /\ m e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> -. (m ↑c 0c) e. NC ))
76		nchoicelem9 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c \/ Nc ( Spac ` Tc m) = 3c))
77		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c -> Nc ( Spac ` Tc m) = 2c)
78		2nnc 6167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2c e. Nn
79	77, 78	syl6eqel 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c -> Nc ( Spac ` Tc m) e. Nn )
80		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = 3c -> Nc ( Spac ` Tc m) = 3c)
81		2p1e3c 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (2c +o 1c) = 3c
82		peano2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (2c e. Nn -> (2c +o 1c) e. Nn )
83	78, 82	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (2c +o 1c) e. Nn
84	81, 83	eqeltrri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 3c e. Nn
85	80, 84	syl6eqel 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = 3c -> Nc ( Spac ` Tc m) e. Nn )
86	79, 85	jaoi 368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c \/ Nc ( Spac ` Tc m) = 3c) -> Nc ( Spac ` Tc m) e. Nn )
87		finnc 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (( Spac ` Tc m) e. Fin <-> Nc ( Spac ` Tc m) e. Nn )
88	86, 87	sylibr 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c \/ Nc ( Spac ` Tc m) = 3c) -> ( Spac ` Tc m) e. Fin )
89	76, 88	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Spac ` Tc m) e. Fin )
90		1p1e2c 6155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (1c +o 1c) = 2c
91	90	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c) <-> Nc ( Spac ` Tc m) = 2c)
92		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (1c +o 2c) = (2c +o 1c)
93	92, 81	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (1c +o 2c) = 3c
94	93	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c) <-> Nc ( Spac ` Tc m) = 3c)
95	91, 94	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc m) = 2c \/ Nc ( Spac ` Tc m) = 3c))
96	76, 95	sylibr 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c)))
97		nchoicelem3 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Spac ` m) = {m})
98	97	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` m) = Nc {m})
99		df1c3g 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (m e. NC -> 1c = Nc {m})
100	99	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> 1c = Nc {m})
101	98, 100	eqtr4d 2388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` m) = 1c)
102		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc 1c)
103	101, 102	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc 1c)
104		tc1c 6165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Tc 1c = 1c
105	103, 104	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> Tc Nc ( Spac ` m) = 1c)
106	105	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) = (1c +o 1c))
107	106	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c)))
108	105	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) = (1c +o 2c))
109	108	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) <-> Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c)))
110	107, 109	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c))))
111	110	3adant1 973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = (1c +o 2c))))
112	96, 111	mpbird 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))
113	89, 112	jca 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (( <_c We NC /\ m e. NC /\ -. (m ↑c 0c) e. NC ) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))
114	113	3expia 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (( <_c We NC /\ m e. NC ) -> (-. (m ↑c 0c) e. NC -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))
115	75, 114	syld 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (( <_c We NC /\ m e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))
116	115	ralrimiva 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = 1c -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))))
117		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (1c +o (n +o 1c)) = ((n +o 1c) +o 1c)
118	117	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) <-> Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))
119		nchoicelem13 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k e. NC -> 1c <_c Nc ( Spac ` k))
120	119	ad2antrl 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> 1c <_c Nc ( Spac ` k))
121		simp2 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) -> n e. Nn )
122		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) -> Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))
123		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((n e. Nn /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) -> Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))
124		0cnsuc 4401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (n +o 1c) =/= 0c
125		peano2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (n e. Nn -> (n +o 1c) e. Nn )
126		peano1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- 0c e. Nn
127		1cnnc 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- 1c e. Nn
128		addccan1 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((n +o 1c) e. Nn /\ 0c e. Nn /\ 1c e. Nn ) -> (((n +o 1c) +o 1c) = (0c +o 1c) <-> (n +o 1c) = 0c))
129	126, 127, 128	mp3an23 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((n +o 1c) e. Nn -> (((n +o 1c) +o 1c) = (0c +o 1c) <-> (n +o 1c) = 0c))
130	125, 129	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (n e. Nn -> (((n +o 1c) +o 1c) = (0c +o 1c) <-> (n +o 1c) = 0c))
131	130	necon3bid 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (n e. Nn -> (((n +o 1c) +o 1c) =/= (0c +o 1c) <-> (n +o 1c) =/= 0c))
132	124, 131	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (n e. Nn -> ((n +o 1c) +o 1c) =/= (0c +o 1c))
133		addcid2 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (0c +o 1c) = 1c
134	133	neeq2i 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((n +o 1c) +o 1c) =/= (0c +o 1c) <-> ((n +o 1c) +o 1c) =/= 1c)
135	132, 134	sylib 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (n e. Nn -> ((n +o 1c) +o 1c) =/= 1c)
136	135	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((n e. Nn /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) -> ((n +o 1c) +o 1c) =/= 1c)
137	123, 136	eqnetrd 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((n e. Nn /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) -> Nc ( Spac ` k) =/= 1c)
138	121, 122, 137	syl2an 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> Nc ( Spac ` k) =/= 1c)
139	138	necomd 2599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> 1c =/= Nc ( Spac ` k))
140		brltc 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (1c <c Nc ( Spac ` k) <-> (1c <_c Nc ( Spac ` k) /\ 1c =/= Nc ( Spac ` k)))
141	120, 139, 140	sylanbrc 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> 1c <c Nc ( Spac ` k))
142		nchoicelem15 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. NC /\ 1c <c Nc ( Spac ` k)) -> (k ↑c 0c) e. NC )
143	142	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k e. NC -> (1c <c Nc ( Spac ` k) -> (k ↑c 0c) e. NC ))
144	143	ad2antrl 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> (1c <c Nc ( Spac ` k) -> (k ↑c 0c) e. NC ))
145		df-3an 936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) <-> ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) /\ (k ↑c 0c) e. NC ))
146		ceclnn1 6189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((2c e. Nn /\ k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (2c ↑c k) e. NC )
147	78, 146	mp3an1 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (2c ↑c k) e. NC )
148	147	3adant2 974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (2c ↑c k) e. NC )
149	148	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (2c ↑c k) e. NC )
150		fveq2 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Spac ` m) = ( Spac ` (2c ↑c k)))
151	150	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (m = (2c ↑c k) -> Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` (2c ↑c k)))
152	151	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n)))
153		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (m = (2c ↑c k) -> Tc m = Tc (2c ↑c k))
154	153	fveq2d 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Spac ` Tc m) = ( Spac ` Tc (2c ↑c k)))
155	154	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (m = (2c ↑c k) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin <-> ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin ))
156	154	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (m = (2c ↑c k) -> Nc ( Spac ` Tc m) = Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)))
157		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)))
158	151, 157	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (m = (2c ↑c k) -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)))
159	158	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
160	156, 159	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c)))
161	158	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))
162	156, 161	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (m = (2c ↑c k) -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) <-> Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))
163	160, 162	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (m = (2c ↑c k) -> (( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))
164	155, 163	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (m = (2c ↑c k) -> ((( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))) <-> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))))
165	152, 164	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (m = (2c ↑c k) -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))))
166	165	rspccva 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) /\ (2c ↑c k) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))))
167		tce2 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Tc (2c ↑c k) = (2c ↑c Tc k))
168	167	fveq2d 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Spac ` (2c ↑c Tc k)))
169	168	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin <-> ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin ))
170	168	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)))
171	170	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c)))
172	170	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))
173	171, 172	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))
174	169, 173	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ((( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))) <-> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))))
175	174	imbi2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))))
176	175	3adant2 974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))))
177	176	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))))))
178		nchoicelem7 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
179	178	3adant2 974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
180		simp2 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))
181	179, 180	eqtr3d 2387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c))
182	181	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c))
183		nnnc 6146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((n +o 1c) e. Nn -> (n +o 1c) e. NC )
184		fvex 5339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( Spac ` (2c ↑c k)) e. _V
185	184	ncelncsi 6121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) e. NC
186		peano4nc 6150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) e. NC /\ (n +o 1c) e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (n +o 1c)))
187	185, 186	mpan 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((n +o 1c) e. NC -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (n +o 1c)))
188	125, 183, 187	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (n e. Nn -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (n +o 1c)))
189	188	ad2antlr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ((n +o 1c) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (n +o 1c)))
190	182, 189	mpbid 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (n +o 1c))
191		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (n +o 1c) = (1c +o n)
192	190, 191	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n))
193		peano2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Nn -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) e. Nn )
194		tccl 6160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (k e. NC -> Tc k e. NC )
195		te0c 6237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (k e. NC -> ( Tc k ↑c 0c) e. NC )
196		nchoicelem7 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (( Tc k e. NC /\ ( Tc k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c))
197	194, 195, 196	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (k e. NC -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c))
198	197	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c))
199	198	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c))
200	199	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` Tc k) e. Nn <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) e. Nn ))
201	193, 200	syl5ibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Nn -> Nc ( Spac ` Tc k) e. Nn ))
202		finnc 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin <-> Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Nn )
203		finnc 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (( Spac ` Tc k) e. Fin <-> Nc ( Spac ` Tc k) e. Nn )
204	201, 202, 203	3imtr4g 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin -> ( Spac ` Tc k) e. Fin ))
205		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) +o 1c))
206		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( Nc ( Spac ` k) = ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) -> Tc Nc ( Spac ` k) = Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
207	178, 206	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ((k e. NC /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Tc Nc ( Spac ` k) = Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
208	207	3adant2 974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> Tc Nc ( Spac ` k) = Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
209	208	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> Tc Nc ( Spac ` k) = Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
210		tcdi 6164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) e. NC /\ 1c e. NC ) -> Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o Tc 1c))
211	185, 5, 210	mp2an 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o Tc 1c)
212	104	addceq2i 4387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o Tc 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c)
213	211, 212	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- Tc ( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c)
214	209, 213	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> Tc Nc ( Spac ` k) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c))
215	214	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) +o 1c))
216	199, 215	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) +o 1c)))
217	205, 216	syl5ibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c)))
218		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) +o 1c))
219	214	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) +o 2c))
220		addc32 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) +o 2c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) +o 1c)
221	219, 220	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) +o 1c))
222	199, 221	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c) <-> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) +o 1c) = (( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) +o 1c)))
223	218, 222	syl5ibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c) -> Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))
224	217, 223	orim12d 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)) -> ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))
225	204, 224	anim12d 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ((( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c))) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
226	192, 225	embantd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` (2c ↑c Tc k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` (2c ↑c Tc k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
227	177, 226	sylbid 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc (2c ↑c k)) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc (2c ↑c k)) = ( Tc Nc ( Spac ` (2c ↑c k)) +o 2c)))) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
228	166, 227	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn ) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ((A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) /\ (2c ↑c k) e. NC ) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
229	228	exp4b 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (( <_c We NC /\ n e. Nn ) -> ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) -> ((2c ↑c k) e. NC -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
230	229	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (( <_c We NC /\ n e. Nn ) -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) -> ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ((2c ↑c k) e. NC -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
231	230	3impia 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) -> ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC ) -> ((2c ↑c k) e. NC -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))))
232	231	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> ((2c ↑c k) e. NC -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
233	149, 232	mpd 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))
234	145, 233	sylan2br 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ ((k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c)) /\ (k ↑c 0c) e. NC )) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))
235	234	expr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> ((k ↑c 0c) e. NC -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
236	144, 235	syld 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> (1c <c Nc ( Spac ` k) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
237	141, 236	mpd 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ (k e. NC /\ Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c))) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c))))
238	237	expr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ k e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` k) = ((n +o 1c) +o 1c) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
239	118, 238	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) /\ k e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
240	239	ralrimiva 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (( <_c We NC /\ n e. Nn /\ A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) -> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))
241	240	3exp 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <_c We NC -> (n e. Nn -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) -> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
242	241	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n e. Nn -> ( <_c We NC -> (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) -> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
243	242	a2d 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. Nn -> (( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o n) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))) -> ( <_c We NC -> A.k e. NC ( Nc ( Spac ` k) = (1c +o (n +o 1c)) -> (( Spac ` Tc k) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc k) = ( Tc Nc ( Spac ` k) +o 2c)))))))
244	32, 39, 44, 67, 72, 116, 243	finds 4411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. Nn -> ( <_c We NC -> A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))))))
245		fveq2 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = M -> ( Spac ` m) = ( Spac ` M))
246	245	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = M -> Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` M))
247	246	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m = M -> ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) <-> Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)))
248		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = M -> Tc m = Tc M)
249	248	fveq2d 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = M -> ( Spac ` Tc m) = ( Spac ` Tc M))
250	249	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = M -> (( Spac ` Tc m) e. Fin <-> ( Spac ` Tc M) e. Fin ))
251	249	nceqd 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = M -> Nc ( Spac ` Tc m) = Nc ( Spac ` Tc M))
252		tceq 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Nc ( Spac ` m) = Nc ( Spac ` M) -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` M))
253	246, 252	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = M -> Tc Nc ( Spac ` m) = Tc Nc ( Spac ` M))
254	253	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = M -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c))
255	251, 254	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = M -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) <-> Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c)))
256	253	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = M -> ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))
257	251, 256	eqeq12d 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = M -> ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c) <-> Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))
258	255, 257	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = M -> (( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)) <-> ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))
259	250, 258	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m = M -> ((( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c))) <-> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
260	247, 259	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m = M -> (( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) <-> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
261	260	rspccv 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.m e. NC ( Nc ( Spac ` m) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc m) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc m) = ( Tc Nc ( Spac ` m) +o 2c)))) -> (M e. NC -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
262	244, 261	syl6com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <_c We NC -> (x e. Nn -> (M e. NC -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))))
263	262	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <_c We NC -> (M e. NC -> (x e. Nn -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))))
264	263	imp 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( <_c We NC /\ M e. NC ) -> (x e. Nn -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
265	264	adantr 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) -> (x e. Nn -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
266	265	adantr 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> (x e. Nn -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
267	27, 31, 266	3syld 51	. . . . . . . . . . 11 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> (t = (1c +o x) -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
268	267	imp3a 420	. . . . . . . . . 10 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> ((t = (1c +o x) /\ Nc ( Spac ` M) = (1c +o x)) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
269	15, 268	syl5 28	. . . . . . . . 9 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> (( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) /\ t = Nc ( Spac ` M)) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
270	269	exp3a 425	. . . . . . . 8 |- (((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) /\ x e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (t = Nc ( Spac ` M) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
271	270	rexlimdva 2738	. . . . . . 7 |- ((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) -> (E.x e. NC Nc ( Spac ` M) = (1c +o x) -> (t = Nc ( Spac ` M) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
272	9, 271	syl5bi 208	. . . . . 6 |- ((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) -> (1c <_c Nc ( Spac ` M) -> (t = Nc ( Spac ` M) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))))
273	4, 272	mpd 14	. . . . 5 |- ((( <_c We NC /\ M e. NC ) /\ t e. Nn ) -> (t = Nc ( Spac ` M) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
274	273	rexlimdva 2738	. . . 4 |- (( <_c We NC /\ M e. NC ) -> (E.t e. Nn t = Nc ( Spac ` M) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
275	2, 274	syl5bi 208	. . 3 |- (( <_c We NC /\ M e. NC ) -> ( Nc ( Spac ` M) e. Nn -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
276	1, 275	syl5bi 208	. 2 |- (( <_c We NC /\ M e. NC ) -> (( Spac ` M) e. Fin -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c)))))
277	276	3impia 1148	1 |- (( <_c We NC /\ M e. NC /\ ( Spac ` M) e. Fin ) -> (( Spac ` Tc M) e. Fin /\ ( Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 1c) \/ Nc ( Spac ` Tc M) = ( Tc Nc ( Spac ` M) +o 2c))))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2516  A.wral 2614  E.wrex 2615  {csn 3737  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   +o cplc 4375   Fin cfin 4376   class class class wbr 4639  ` cfv 4781  (class class class)co 5525   We cwe 5895   NC cncs 6088   <__c clec 6089   <_c cltc 6090   Nc cnc 6091   T_c ctc 6093  2_cc2c 6094  3_cc3c 6095   ↑_c cce 6096   Sp_ac cspac 6273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-tp 3743  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-fullfun 5768  df-clos1 5873  df-trans 5899  df-antisym 5901  df-partial 5902  df-connex 5903  df-strict 5904  df-we 5906  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101  df-tc 6103  df-2c 6104  df-3c 6105  df-ce 6106  df-tcfn 6107  df-spac 6274

This theorem is referenced by:  nchoicelem19  6307  nchoice  6308