Theorem copsexg 4608

Description: Substitution of class A for ordered pair <.x, y>.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Allowed substitution hints:   ph(x,y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 2863	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4607	. . 3 |- (A = <.x, y>. <-> E.zE.w(A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.))
4		19.8a 1756	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
5		19.8a 1756	. . . . . . . . 9 |- (E.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
6	4, 5	syl 15	. . . . . . . 8 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
7	6	ex 423	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
8		opth 4603	. . . . . . . 8 |- (<.z, w>. = <.x, y>. <-> (z = x /\ w = y))
9	8	anbi1i 676	. . . . . . . . . 10 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) <-> ((z = x /\ w = y) /\ ph))
10	9	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 |- (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph))
11		nfe1 1732	. . . . . . . . . . 11 |- F/xE.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))
12		nfae 1954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/yA.y y = x
13		anass 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((z = x /\ w = y) /\ ph) <-> (z = x /\ (w = y /\ ph)))
14		19.8a 1756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w = y /\ ph) -> E.y(w = y /\ ph))
15	14	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.y y = x -> ((w = y /\ ph) -> E.y(w = y /\ ph)))
16	15	anim2d 548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.y y = x -> ((z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
17	13, 16	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = x -> (((z = x /\ w = y) /\ ph) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
18	12, 17	eximd 1770	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.y(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
19		biidd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = x -> ((z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) <-> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
20	19	drex1 1967	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = x -> (E.y(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) <-> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
21	18, 20	sylibd 205	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
22	13	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) <-> E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)))
23		19.40 1609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (E.y z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
24		nfnae 1956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/y -. A.y y = x
25		dveeq2 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. A.y y = x -> (z = x -> A.y z = x))
26	24, 25	nfd 1766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-. A.y y = x -> F/y z = x)
27	26	19.9d 1782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.y y = x -> (E.y z = x -> z = x))
28	27	anim1d 547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> ((E.y z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
29	23, 28	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> (E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
30	22, 29	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
31		19.8a 1756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
32	30, 31	syl6 29	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
33	21, 32	pm2.61i 156	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
34	11, 33	exlimi 1803	. . . . . . . . . 10 |- (E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
35		euequ1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E!x x = z
36		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z <-> z = x)
37	36	eubii 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E!x x = z <-> E!x z = x)
38	35, 37	mpbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- E!x z = x
39		eupick 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E!x z = x /\ E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))) -> (z = x -> E.y(w = y /\ ph)))
40	38, 39	mpan 651	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (z = x -> E.y(w = y /\ ph)))
41	40	com12 27	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> E.y(w = y /\ ph)))
42		euequ1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E!y y = w
43		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = w <-> w = y)
44	43	eubii 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E!y y = w <-> E!y w = y)
45	42, 44	mpbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- E!y w = y
46		eupick 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E!y w = y /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (w = y -> ph))
47	45, 46	mpan 651	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y(w = y /\ ph) -> (w = y -> ph))
48	47	com12 27	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> (E.y(w = y /\ ph) -> ph))
49	41, 48	sylan9 638	. . . . . . . . . 10 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> ph))
50	34, 49	syl5 28	. . . . . . . . 9 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> ph))
51	10, 50	syl5bi 208	. . . . . . . 8 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> ph))
52	8, 51	sylbi 187	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> ph))
53	7, 52	impbid 183	. . . . . 6 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
54		eqeq1 2359	. . . . . . 7 |- (A = <.z, w>. -> (A = <.x, y>. <-> <.z, w>. = <.x, y>.))
55	54	anbi1d 685	. . . . . . . . 9 |- (A = <.z, w>. -> ((A = <.x, y>. /\ ph) <-> (<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
56	55	2exbidv 1628	. . . . . . . 8 |- (A = <.z, w>. -> (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
57	56	bibi2d 309	. . . . . . 7 |- (A = <.z, w>. -> ((ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)) <-> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))))
58	54, 57	imbi12d 311	. . . . . 6 |- (A = <.z, w>. -> ((A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))) <-> (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))))
59	53, 58	mpbiri 224	. . . . 5 |- (A = <.z, w>. -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
60	59	adantr 451	. . . 4 |- ((A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.) -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
61	60	exlimivv 1635	. . 3 |- (E.zE.w(A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.) -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
62	3, 61	sylbi 187	. 2 |- (A = <.x, y>. -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
63	62	pm2.43i 43	1 |- (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642  E!weu 2204  <.cop 4562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569

This theorem is referenced by:  copsex2t  4609  copsex2g  4610  mosubopt  4613  opabid  4696