Theorem copsexg 4608

Description: Substitution of class A for ordered pair ⟨x, y⟩. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	⊢ (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . 4 ⊢ x ∈ V
2		vex 2863	. . . 4 ⊢ y ∈ V
3	1, 2	eqvinop 4607	. . 3 ⊢ (A = ⟨x, y⟩ ↔ ∃z∃w(A = ⟨z, w⟩ ∧ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩))
4		19.8a 1756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → ∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
5		19.8a 1756	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
6	4, 5	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
7	6	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φ → ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
8		opth 4603	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ↔ (z = x ∧ w = y))
9	8	anbi1i 676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ((z = x ∧ w = y) ∧ φ))
10	9	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ∃x∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ))
11		nfe1 1732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎx∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))
12		nfae 1954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎy∀y y = x
13		anass 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((z = x ∧ w = y) ∧ φ) ↔ (z = x ∧ (w = y ∧ φ)))
14		19.8a 1756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((w = y ∧ φ) → ∃y(w = y ∧ φ))
15	14	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀y y = x → ((w = y ∧ φ) → ∃y(w = y ∧ φ)))
16	15	anim2d 548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀y y = x → ((z = x ∧ (w = y ∧ φ)) → (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
17	13, 16	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y y = x → (((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
18	12, 17	eximd 1770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y y = x → (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → ∃y(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
19		biidd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y y = x → ((z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) ↔ (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
20	19	drex1 1967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y y = x → (∃y(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) ↔ ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
21	18, 20	sylibd 205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y y = x → (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
22	13	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) ↔ ∃y(z = x ∧ (w = y ∧ φ)))
23		19.40 1609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃y(z = x ∧ (w = y ∧ φ)) → (∃y z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)))
24		nfnae 1956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎy ¬ ∀y y = x
25		dveeq2 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ ∀y y = x → (z = x → ∀y z = x))
26	24, 25	nfd 1766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∀y y = x → Ⅎy z = x)
27	26	19.9d 1782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀y y = x → (∃y z = x → z = x))
28	27	anim1d 547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∀y y = x → ((∃y z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
29	23, 28	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀y y = x → (∃y(z = x ∧ (w = y ∧ φ)) → (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
30	22, 29	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀y y = x → (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → (z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
31		19.8a 1756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)))
32	30, 31	syl6 29	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀y y = x → (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))))
33	21, 32	pm2.61i 156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)))
34	11, 33	exlimi 1803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃x∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)))
35		euequ1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∃!x x = z
36		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = z ↔ z = x)
37	36	eubii 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃!x x = z ↔ ∃!x z = x)
38	35, 37	mpbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∃!x z = x
39		eupick 2267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃!x z = x ∧ ∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ))) → (z = x → ∃y(w = y ∧ φ)))
40	38, 39	mpan 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → (z = x → ∃y(w = y ∧ φ)))
41	40	com12 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = x → (∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → ∃y(w = y ∧ φ)))
42		euequ1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∃!y y = w
43		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = w ↔ w = y)
44	43	eubii 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃!y y = w ↔ ∃!y w = y)
45	42, 44	mpbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∃!y w = y
46		eupick 2267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃!y w = y ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → (w = y → φ))
47	45, 46	mpan 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y(w = y ∧ φ) → (w = y → φ))
48	47	com12 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = y → (∃y(w = y ∧ φ) → φ))
49	41, 48	sylan9 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z = x ∧ w = y) → (∃x(z = x ∧ ∃y(w = y ∧ φ)) → φ))
50	34, 49	syl5 28	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z = x ∧ w = y) → (∃x∃y((z = x ∧ w = y) ∧ φ) → φ))
51	10, 50	syl5bi 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((z = x ∧ w = y) → (∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → φ))
52	8, 51	sylbi 187	. . . . . . 7 ⊢ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → φ))
53	7, 52	impbid 183	. . . . . 6 ⊢ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
54		eqeq1 2359	. . . . . . 7 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ ↔ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩))
55	54	anbi1d 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
56	55	2exbidv 1628	. . . . . . . 8 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → (∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
57	56	bibi2d 309	. . . . . . 7 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → ((φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ)) ↔ (φ ↔ ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ))))
58	54, 57	imbi12d 311	. . . . . 6 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ))) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))))
59	53, 58	mpbiri 224	. . . . 5 ⊢ (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ))))
60	59	adantr 451	. . . 4 ⊢ ((A = ⟨z, w⟩ ∧ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ))))
61	60	exlimivv 1635	. . 3 ⊢ (∃z∃w(A = ⟨z, w⟩ ∧ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ))))
62	3, 61	sylbi 187	. 2 ⊢ (A = ⟨x, y⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ))))
63	62	pm2.43i 43	1 ⊢ (A = ⟨x, y⟩ → (φ ↔ ∃x∃y(A = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642  ∃!weu 2204  ⟨cop 4562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569

This theorem is referenced by:  copsex2t  4609  copsex2g  4610  mosubopt  4613  opabid  4696