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Theorem copsexg 4607
Description: Substitution of class A for ordered pair x, y. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg (A = x, y → (φxy(A = x, y φ)))
Distinct variable groups:   x,A   y,A
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . 4 x V
2 vex 2862 . . . 4 y V
31, 2eqvinop 4606 . . 3 (A = x, yzw(A = z, w z, w = x, y))
4 19.8a 1756 . . . . . . . . 9 ((z, w = x, y φ) → y(z, w = x, y φ))
5 19.8a 1756 . . . . . . . . 9 (y(z, w = x, y φ) → xy(z, w = x, y φ))
64, 5syl 15 . . . . . . . 8 ((z, w = x, y φ) → xy(z, w = x, y φ))
76ex 423 . . . . . . 7 (z, w = x, y → (φxy(z, w = x, y φ)))
8 opth 4602 . . . . . . . 8 (z, w = x, y ↔ (z = x w = y))
98anbi1i 676 . . . . . . . . . 10 ((z, w = x, y φ) ↔ ((z = x w = y) φ))
1092exbii 1583 . . . . . . . . 9 (xy(z, w = x, y φ) ↔ xy((z = x w = y) φ))
11 nfe1 1732 . . . . . . . . . . 11 xx(z = x y(w = y φ))
12 nfae 1954 . . . . . . . . . . . . . 14 yy y = x
13 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((z = x w = y) φ) ↔ (z = x (w = y φ)))
14 19.8a 1756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((w = y φ) → y(w = y φ))
1514a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y y = x → ((w = y φ) → y(w = y φ)))
1615anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y y = x → ((z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
1713, 16syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → (((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
1812, 17eximd 1770 . . . . . . . . . . . . 13 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → y(z = x y(w = y φ))))
19 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → ((z = x y(w = y φ)) ↔ (z = x y(w = y φ))))
2019drex1 1967 . . . . . . . . . . . . 13 (y y = x → (y(z = x y(w = y φ)) ↔ x(z = x y(w = y φ))))
2118, 20sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
2213exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . 14 (y((z = x w = y) φ) ↔ y(z = x (w = y φ)))
23 19.40 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y(z = x (w = y φ)) → (y z = x y(w = y φ)))
24 nfnae 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 y ¬ y y = x
25 dveeq2 1940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 y y = x → (z = xy z = x))
2624, 25nfd 1766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 y y = x → Ⅎy z = x)
272619.9d 1782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 y y = x → (y z = xz = x))
2827anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . . 15 y y = x → ((y z = x y(w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
2923, 28syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14 y y = x → (y(z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
3022, 29syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13 y y = x → (y((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
31 19.8a 1756 . . . . . . . . . . . . 13 ((z = x y(w = y φ)) → x(z = x y(w = y φ)))
3230, 31syl6 29 . . . . . . . . . . . 12 y y = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
3321, 32pm2.61i 156 . . . . . . . . . . 11 (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
3411, 33exlimi 1803 . . . . . . . . . 10 (xy((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
35 euequ1 2292 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!x x = z
36 equcom 1680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = zz = x)
3736eubii 2213 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!x x = z∃!x z = x)
3835, 37mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!x z = x
39 eupick 2267 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!x z = x x(z = x y(w = y φ))) → (z = xy(w = y φ)))
4038, 39mpan 651 . . . . . . . . . . . 12 (x(z = x y(w = y φ)) → (z = xy(w = y φ)))
4140com12 27 . . . . . . . . . . 11 (z = x → (x(z = x y(w = y φ)) → y(w = y φ)))
42 euequ1 2292 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!y y = w
43 equcom 1680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = ww = y)
4443eubii 2213 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!y y = w∃!y w = y)
4542, 44mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!y w = y
46 eupick 2267 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!y w = y y(w = y φ)) → (w = yφ))
4745, 46mpan 651 . . . . . . . . . . . 12 (y(w = y φ) → (w = yφ))
4847com12 27 . . . . . . . . . . 11 (w = y → (y(w = y φ) → φ))
4941, 48sylan9 638 . . . . . . . . . 10 ((z = x w = y) → (x(z = x y(w = y φ)) → φ))
5034, 49syl5 28 . . . . . . . . 9 ((z = x w = y) → (xy((z = x w = y) φ) → φ))
5110, 50syl5bi 208 . . . . . . . 8 ((z = x w = y) → (xy(z, w = x, y φ) → φ))
528, 51sylbi 187 . . . . . . 7 (z, w = x, y → (xy(z, w = x, y φ) → φ))
537, 52impbid 183 . . . . . 6 (z, w = x, y → (φxy(z, w = x, y φ)))
54 eqeq1 2359 . . . . . . 7 (A = z, w → (A = x, yz, w = x, y))
5554anbi1d 685 . . . . . . . . 9 (A = z, w → ((A = x, y φ) ↔ (z, w = x, y φ)))
56552exbidv 1628 . . . . . . . 8 (A = z, w → (xy(A = x, y φ) ↔ xy(z, w = x, y φ)))
5756bibi2d 309 . . . . . . 7 (A = z, w → ((φxy(A = x, y φ)) ↔ (φxy(z, w = x, y φ))))
5854, 57imbi12d 311 . . . . . 6 (A = z, w → ((A = x, y → (φxy(A = x, y φ))) ↔ (z, w = x, y → (φxy(z, w = x, y φ)))))
5953, 58mpbiri 224 . . . . 5 (A = z, w → (A = x, y → (φxy(A = x, y φ))))
6059adantr 451 . . . 4 ((A = z, w z, w = x, y) → (A = x, y → (φxy(A = x, y φ))))
6160exlimivv 1635 . . 3 (zw(A = z, w z, w = x, y) → (A = x, y → (φxy(A = x, y φ))))
623, 61sylbi 187 . 2 (A = x, y → (A = x, y → (φxy(A = x, y φ))))
6362pm2.43i 43 1 (A = x, y → (φxy(A = x, y φ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 176   wa 358  wal 1540  wex 1541   = wceq 1642  ∃!weu 2204  cop 4561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568
This theorem is referenced by:  copsex2t  4608  copsex2g  4609  mosubopt  4612  opabid  4695
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