Theorem frecxpg 6315

Description: Subset relationship for the finite recursive function generator. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecxpg.1	|- F = FRec (G, I)

Assertion

Ref	Expression
frecxpg	|- (G e. V -> F C_ ( Nn X. (ran G u. {I})))

Proof of Theorem frecxpg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecxpg.1	. 2 |- F = FRec (G, I)
2		eqid 2353	. . . . 5 |- I = I
3		freceq12 6311	. . . . 5 |- ((g = G /\ I = I) -> FRec (g, I) = FRec (G, I))
4	2, 3	mpan2 652	. . . 4 |- (g = G -> FRec (g, I) = FRec (G, I))
5		rneq 4956	. . . . . 6 |- (g = G -> ran g = ran G)
6	5	uneq1d 3417	. . . . 5 |- (g = G -> (ran g u. {I}) = (ran G u. {I}))
7	6	xpeq2d 4808	. . . 4 |- (g = G -> ( Nn X. (ran g u. {I})) = ( Nn X. (ran G u. {I})))
8	4, 7	sseq12d 3300	. . 3 |- (g = G -> ( FRec (g, I) C_ ( Nn X. (ran g u. {I})) <-> FRec (G, I) C_ ( Nn X. (ran G u. {I}))))
9		eqid 2353	. . . 4 |- FRec (g, I) = FRec (g, I)
10		vex 2862	. . . 4 |- g e. _V
11	9, 10	frecxp 6314	. . 3 |- FRec (g, I) C_ ( Nn X. (ran g u. {I}))
12	8, 11	vtoclg 2914	. 2 |- (G e. V -> FRec (G, I) C_ ( Nn X. (ran G u. {I})))
13	1, 12	syl5eqss 3315	1 |- (G e. V -> F C_ ( Nn X. (ran G u. {I})))

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1642   e. wcel 1710   u. cun 3207   C_ wss 3257  {csn 3737   Nn cnnc 4373   X. cxp 4770  ran crn 4773   FRec cfrec 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-clos1 5873  df-frec 6310

This theorem is referenced by:  dmfrec  6316  frecsuc  6322