Theorem isocnv 5491

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by set.mm contributors, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5299	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-1-1-onto->A)
2	1	adantr 451	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> `'H:B-1-1-onto->A)
3		f1ocnvfv2 5477	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ z e. B) -> (H` (`'H` z)) = z)
4	3	adantrr 697	. . . . . . 7 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` z)) = z)
5		f1ocnvfv2 5477	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ w e. B) -> (H` (`'H` w)) = w)
6	5	adantrl 696	. . . . . . 7 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` w)) = w)
7	4, 6	breq12d 4652	. . . . . 6 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
8	7	adantlr 695	. . . . 5 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
9		f1of 5287	. . . . . . 7 |- (`'H:B-1-1-onto->A -> `'H:B-->A)
10	1, 9	syl 15	. . . . . 6 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-->A)
11		ffvelrn 5415	. . . . . . . . 9 |- ((`'H:B-->A /\ z e. B) -> (`'H` z) e. A)
12		ffvelrn 5415	. . . . . . . . 9 |- ((`'H:B-->A /\ w e. B) -> (`'H` w) e. A)
13	11, 12	anim12dan 810	. . . . . . . 8 |- ((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
14		breq1 4642	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (`'H` z) -> (xRy <-> (`'H` z)Ry))
15		fveq2 5328	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'H` z) -> (H` x) = (H` (`'H` z)))
16	15	breq1d 4649	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (`'H` z) -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` y)))
17	14, 16	bibi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y))))
18		bicom 191	. . . . . . . . . 10 |- (((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry))
19	17, 18	syl6bb 252	. . . . . . . . 9 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry)))
20		fveq2 5328	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (`'H` w) -> (H` y) = (H` (`'H` w)))
21	20	breq2d 4651	. . . . . . . . . 10 |- (y = (`'H` w) -> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` (`'H` w))))
22		breq2 4643	. . . . . . . . . 10 |- (y = (`'H` w) -> ((`'H` z)Ry <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
23	21, 22	bibi12d 312	. . . . . . . . 9 |- (y = (`'H` w) -> (((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry) <-> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
24	19, 23	rspc2va 2962	. . . . . . . 8 |- ((((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
25	13, 24	sylan 457	. . . . . . 7 |- (((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
26	25	an32s 779	. . . . . 6 |- (((`'H:B-->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
27	10, 26	sylanl1 631	. . . . 5 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
28	8, 27	bitr3d 246	. . . 4 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
29	28	ralrimivva 2706	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
30	2, 29	jca 518	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
31		df-iso 4796	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
32		df-iso 4796	. 2 |- (`'H Isom S, R (B, A) <-> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
33	30, 31, 32	3imtr4i 257	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2614   class class class wbr 4639  `'ccnv 4771  -->wf 4777  -1-1-onto->wf1o 4780  ` cfv 4781   Isom wiso 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-iso 4796

This theorem is referenced by:  isores1  5494