Theorem lefinaddc 4451

Description: Cardinal sum always yields a larger set. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lefinaddc	|- ((A e. V /\ N e. Nn ) -> <<A, (A +o N)>> e. <_fin )

Proof of Theorem lefinaddc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2353	. . . 4 |- (A +o N) = (A +o N)
2		addceq2 4385	. . . . . 6 |- (n = N -> (A +o n) = (A +o N))
3	2	eqeq2d 2364	. . . . 5 |- (n = N -> ((A +o N) = (A +o n) <-> (A +o N) = (A +o N)))
4	3	rspcev 2956	. . . 4 |- ((N e. Nn /\ (A +o N) = (A +o N)) -> E.n e. Nn (A +o N) = (A +o n))
5	1, 4	mpan2 652	. . 3 |- (N e. Nn -> E.n e. Nn (A +o N) = (A +o n))
6	5	adantl 452	. 2 |- ((A e. V /\ N e. Nn ) -> E.n e. Nn (A +o N) = (A +o n))
7		addcexg 4394	. . 3 |- ((A e. V /\ N e. Nn ) -> (A +o N) e. _V)
8		opklefing 4449	. . 3 |- ((A e. V /\ (A +o N) e. _V) -> (<<A, (A +o N)>> e. <_fin <-> E.n e. Nn (A +o N) = (A +o n)))
9	7, 8	syldan 456	. 2 |- ((A e. V /\ N e. Nn ) -> (<<A, (A +o N)>> e. <_fin <-> E.n e. Nn (A +o N) = (A +o n)))
10	6, 9	mpbird 223	1 |- ((A e. V /\ N e. Nn ) -> <<A, (A +o N)>> e. <_fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616  _Vcvv 2860  <<copk 4058   Nn cnnc 4374   +o cplc 4376   <__fin clefin 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-addc 4379  df-lefin 4441

This theorem is referenced by:  0cminle  4462  vfintle  4547  vfin1cltv  4548