Theorem lefinaddc 4451

Description: Cardinal sum always yields a larger set. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lefinaddc	⊢ ((A ∈ V ∧ N ∈ Nn ) → ⟪A, (A +c N)⟫ ∈ ≤fin )

Proof of Theorem lefinaddc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2353	. . . 4 ⊢ (A +c N) = (A +c N)
2		addceq2 4385	. . . . . 6 ⊢ (n = N → (A +c n) = (A +c N))
3	2	eqeq2d 2364	. . . . 5 ⊢ (n = N → ((A +c N) = (A +c n) ↔ (A +c N) = (A +c N)))
4	3	rspcev 2956	. . . 4 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ (A +c N) = (A +c N)) → ∃n ∈ Nn (A +c N) = (A +c n))
5	1, 4	mpan2 652	. . 3 ⊢ (N ∈ Nn → ∃n ∈ Nn (A +c N) = (A +c n))
6	5	adantl 452	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ N ∈ Nn ) → ∃n ∈ Nn (A +c N) = (A +c n))
7		addcexg 4394	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ N ∈ Nn ) → (A +c N) ∈ V)
8		opklefing 4449	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ (A +c N) ∈ V) → (⟪A, (A +c N)⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃n ∈ Nn (A +c N) = (A +c n)))
9	7, 8	syldan 456	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ N ∈ Nn ) → (⟪A, (A +c N)⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃n ∈ Nn (A +c N) = (A +c n)))
10	6, 9	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ N ∈ Nn ) → ⟪A, (A +c N)⟫ ∈ ≤fin )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616  Vcvv 2860  ⟪copk 4058   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   ≤_fin clefin 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-addc 4379  df-lefin 4441

This theorem is referenced by:  0cminle  4462  vfintle  4547  vfin1cltv  4548