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Theorem vfin1cltv 4547
 Description: If the universe is finite, then 1c is strictly smaller than the universe. Theorem X.1.57 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfin1cltv Fin Ncfin 1c Ncfin fin

Proof of Theorem vfin1cltv
StepHypRef Expression
1 uncompl 4074 . . . . 5 1c ∼ 1c
2 ncfineq 4473 . . . . 5 1c ∼ 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin
31, 2ax-mp 8 . . . 4 Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin
4 1cex 4142 . . . . 5 1c
54complex 4104 . . . . . 6 ∼ 1c
6 incompl 4073 . . . . . 6 1c ∼ 1c
7 ncfindi 4475 . . . . . 6 Fin 1c ∼ 1c 1c ∼ 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . . 5 Fin 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
94, 8mpan2 652 . . . 4 Fin Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
103, 9syl5reqr 2400 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin
1110opkeq2d 4066 . 2 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin
12 0nel1c 4159 . . . . . . 7 1c
13 0ex 4110 . . . . . . . 8
1413elcompl 3225 . . . . . . 7 ∼ 1c 1c
1512, 14mpbir 200 . . . . . 6 ∼ 1c
16 n0i 3555 . . . . . 6 ∼ 1c ∼ 1c
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5 ∼ 1c
18 ncfinprop 4474 . . . . . . . . 9 Fin ∼ 1c Ncfin ∼ 1c Nn ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
195, 18mpan2 652 . . . . . . . 8 Fin Ncfin ∼ 1c Nn ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
2019simprd 449 . . . . . . 7 Fin ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
21 eleq2 2414 . . . . . . 7 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c 0c ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
2220, 21syl5ibrcom 213 . . . . . 6 Fin 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c 0c
23 el0c 4421 . . . . . 6 ∼ 1c 0c ∼ 1c
2422, 23syl6ib 217 . . . . 5 Fin 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c
2517, 24mtoi 169 . . . 4 Fin 0c Ncfin ∼ 1c
26 addcid1 4405 . . . . . 6 Ncfin 1c 0c Ncfin 1c
2726eqeq1i 2360 . . . . 5 Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
28 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 Fin 1c Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c
294, 28mpan2 652 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c
3029simpld 445 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Nn
31 peano1 4402 . . . . . . 7 0c Nn
3231a1i 10 . . . . . 6 Fin 0c Nn
3319simpld 445 . . . . . 6 Fin Ncfin ∼ 1c Nn
3426a1i 10 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c 0c Ncfin 1c
3529simprd 449 . . . . . . . 8 Fin 1c Ncfin 1c
36 ne0i 3556 . . . . . . . 8 1c Ncfin 1c Ncfin 1c
3735, 36syl 15 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c
3834, 37eqnetrd 2534 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c 0c
39 preaddccan2 4455 . . . . . 6 Ncfin 1c Nn 0c Nn Ncfin ∼ 1c Nn Ncfin 1c 0c Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4030, 32, 33, 38, 39syl31anc 1185 . . . . 5 Fin Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4127, 40syl5bbr 250 . . . 4 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4225, 41mtbird 292 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
43 ncfinex 4472 . . . . . . 7 Ncfin 1c
44 lefinaddc 4450 . . . . . . 7 Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Nn Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin
4543, 33, 44sylancr 644 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin
46 ncfinex 4472 . . . . . . . . 9 Ncfin ∼ 1c
4743, 46addcex 4394 . . . . . . . 8 Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
48 lefinlteq 4463 . . . . . . . 8 Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
4943, 47, 48mp3an12 1267 . . . . . . 7 Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5037, 49syl 15 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5145, 50mpbid 201 . . . . 5 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5251orcomd 377 . . . 4 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin
5352ord 366 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin
5442, 53mpd 14 . 2 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c fin
5511, 54eqeltrrd 2428 1 Fin Ncfin 1c Ncfin fin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cun 3207   cin 3208  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375   Fin cfin 4376   fin clefin 4432   fin cltfin 4433   Ncfin cncfin 4434 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442 This theorem is referenced by:  vfinncvntnn  4548
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