Theorem ncssfin 6152

Description: A cardinal is finite iff it is a subset of Fin. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ncssfin	|- (A e. NC -> (A e. Nn <-> A C_ Fin ))

Proof of Theorem ncssfin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3920	. . 3 |- (A e. Nn -> A C_ U. Nn )
2		df-fin 4381	. . 3 |- Fin = U. Nn
3	1, 2	syl6sseqr 3319	. 2 |- (A e. Nn -> A C_ Fin )
4		dfss2 3263	. . . 4 |- (A C_ Fin <-> A.x(x e. A -> x e. Fin ))
5		elfin 4421	. . . . . . 7 |- (x e. Fin <-> E.y e. Nn x e. y)
6	5	imbi2i 303	. . . . . 6 |- ((x e. A -> x e. Fin ) <-> (x e. A -> E.y e. Nn x e. y))
7		peano1 4403	. . . . . . 7 |- 0c e. Nn
8		ne0i 3557	. . . . . . 7 |- (0c e. Nn -> Nn =/= (/))
9		r19.37zv 3647	. . . . . . 7 |- ( Nn =/= (/) -> (E.y e. Nn (x e. A -> x e. y) <-> (x e. A -> E.y e. Nn x e. y)))
10	7, 8, 9	mp2b 9	. . . . . 6 |- (E.y e. Nn (x e. A -> x e. y) <-> (x e. A -> E.y e. Nn x e. y))
11	6, 10	bitr4i 243	. . . . 5 |- ((x e. A -> x e. Fin ) <-> E.y e. Nn (x e. A -> x e. y))
12	11	albii 1566	. . . 4 |- (A.x(x e. A -> x e. Fin ) <-> A.xE.y e. Nn (x e. A -> x e. y))
13	4, 12	bitri 240	. . 3 |- (A C_ Fin <-> A.xE.y e. Nn (x e. A -> x e. y))
14		nulnnc 6119	. . . . . . 7 |- -. (/) e. NC
15		eleq1 2413	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> (A e. NC <-> (/) e. NC ))
16	14, 15	mtbiri 294	. . . . . 6 |- (A = (/) -> -. A e. NC )
17	16	necon2ai 2562	. . . . 5 |- (A e. NC -> A =/= (/))
18		n0 3560	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
19	17, 18	sylib 188	. . . 4 |- (A e. NC -> E.x x e. A)
20		19.29r 1597	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.xE.y e. Nn (x e. A -> x e. y)) -> E.x(x e. A /\ E.y e. Nn (x e. A -> x e. y)))
21		pm2.27 35	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> ((x e. A -> x e. y) -> x e. y))
22	21	adantl 452	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ x e. A) -> ((x e. A -> x e. y) -> x e. y))
23		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. Nn -> y e. NC )
24		nceleq 6150	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. NC /\ y e. NC ) /\ (x e. A /\ x e. y)) -> A = y)
25	23, 24	sylanl2 632	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ (x e. A /\ x e. y)) -> A = y)
26		simplr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ (x e. A /\ x e. y)) -> y e. Nn )
27	25, 26	eqeltrd 2427	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ (x e. A /\ x e. y)) -> A e. Nn )
28	27	expr 598	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ x e. A) -> (x e. y -> A e. Nn ))
29	22, 28	syld 40	. . . . . . . . 9 |- (((A e. NC /\ y e. Nn ) /\ x e. A) -> ((x e. A -> x e. y) -> A e. Nn ))
30	29	an32s 779	. . . . . . . 8 |- (((A e. NC /\ x e. A) /\ y e. Nn ) -> ((x e. A -> x e. y) -> A e. Nn ))
31	30	rexlimdva 2739	. . . . . . 7 |- ((A e. NC /\ x e. A) -> (E.y e. Nn (x e. A -> x e. y) -> A e. Nn ))
32	31	expimpd 586	. . . . . 6 |- (A e. NC -> ((x e. A /\ E.y e. Nn (x e. A -> x e. y)) -> A e. Nn ))
33	32	exlimdv 1636	. . . . 5 |- (A e. NC -> (E.x(x e. A /\ E.y e. Nn (x e. A -> x e. y)) -> A e. Nn ))
34	20, 33	syl5 28	. . . 4 |- (A e. NC -> ((E.x x e. A /\ A.xE.y e. Nn (x e. A -> x e. y)) -> A e. Nn ))
35	19, 34	mpand 656	. . 3 |- (A e. NC -> (A.xE.y e. Nn (x e. A -> x e. y) -> A e. Nn ))
36	13, 35	syl5bi 208	. 2 |- (A e. NC -> (A C_ Fin -> A e. Nn ))
37	3, 36	impbid2 195	1 |- (A e. NC -> (A e. Nn <-> A C_ Fin ))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  E.wrex 2616   C_ wss 3258  (/)c0 3551  U.cuni 3892   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   Fin cfin 4377   NC cncs 6089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102

This theorem is referenced by: (None)