Theorem sikexlem 4296

Description: Lemma for sikexg 4297. Equality for two subsets of 1_c squared . (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sikexlem.1	|- A C_ (1c X.k 1c)
sikexlem.2	|- B C_ (1c X.k 1c)

Assertion

Ref	Expression
sikexlem	|- (A = B <-> A.xA.y(<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem sikexlem

Dummy variables z w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sikexlem.1	. . 3 |- A C_ (1c X.k 1c)
2		sikexlem.2	. . 3 |- B C_ (1c X.k 1c)
3		ssofeq 4078	. . 3 |- ((A C_ (1c X.k 1c) /\ B C_ (1c X.k 1c)) -> (A = B <-> A.z e. (1c X.k 1c)(z e. A <-> z e. B)))
4	1, 2, 3	mp2an 653	. 2 |- (A = B <-> A.z e. (1c X.k 1c)(z e. A <-> z e. B))
5		df-ral 2620	. . 3 |- (A.z e. (1c X.k 1c)(z e. A <-> z e. B) <-> A.z(z e. (1c X.k 1c) -> (z e. A <-> z e. B)))
6		elxpk 4197	. . . . . . . 8 |- (z e. (1c X.k 1c) <-> E.wE.t(z = <<w, t>> /\ (w e. 1c /\ t e. 1c)))
7		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. 1c <-> E.x w = {x})
8		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. 1c <-> E.y t = {y})
9	7, 8	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. 1c /\ t e. 1c) <-> (E.x w = {x} /\ E.y t = {y}))
10		eeanv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E.xE.y(w = {x} /\ t = {y}) <-> (E.x w = {x} /\ E.y t = {y}))
11	9, 10	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. 1c /\ t e. 1c) <-> E.xE.y(w = {x} /\ t = {y}))
12	11	anbi2i 675	. . . . . . . . . . 11 |- ((z = <<w, t>> /\ (w e. 1c /\ t e. 1c)) <-> (z = <<w, t>> /\ E.xE.y(w = {x} /\ t = {y})))
13		df-3an 936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> ((w = {x} /\ t = {y}) /\ z = <<w, t>>))
14		ancom 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w = {x} /\ t = {y}) /\ z = <<w, t>>) <-> (z = <<w, t>> /\ (w = {x} /\ t = {y})))
15	13, 14	bitri 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> (z = <<w, t>> /\ (w = {x} /\ t = {y})))
16	15	2exbii 1583	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.xE.y(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> E.xE.y(z = <<w, t>> /\ (w = {x} /\ t = {y})))
17		19.42vv 1907	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.xE.y(z = <<w, t>> /\ (w = {x} /\ t = {y})) <-> (z = <<w, t>> /\ E.xE.y(w = {x} /\ t = {y})))
18	16, 17	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> (z = <<w, t>> /\ E.xE.y(w = {x} /\ t = {y})))
19	12, 18	bitr4i 243	. . . . . . . . . 10 |- ((z = <<w, t>> /\ (w e. 1c /\ t e. 1c)) <-> E.xE.y(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>))
20	19	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.t(z = <<w, t>> /\ (w e. 1c /\ t e. 1c)) <-> E.wE.tE.xE.y(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>))
21		exrot4 1745	. . . . . . . . 9 |- (E.xE.yE.wE.t(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> E.wE.tE.xE.y(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>))
22	20, 21	bitr4i 243	. . . . . . . 8 |- (E.wE.t(z = <<w, t>> /\ (w e. 1c /\ t e. 1c)) <-> E.xE.yE.wE.t(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>))
23		snex 4112	. . . . . . . . . 10 |- {x} e. _V
24		snex 4112	. . . . . . . . . 10 |- {y} e. _V
25		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . 11 |- (w = {x} -> <<w, t>> = <<{x}, t>>)
26	25	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 |- (w = {x} -> (z = <<w, t>> <-> z = <<{x}, t>>))
27		opkeq2 4061	. . . . . . . . . . 11 |- (t = {y} -> <<{x}, t>> = <<{x}, {y}>>)
28	27	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 |- (t = {y} -> (z = <<{x}, t>> <-> z = <<{x}, {y}>>))
29	23, 24, 26, 28	ceqsex2v 2897	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.t(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> z = <<{x}, {y}>>)
30	29	2exbii 1583	. . . . . . . 8 |- (E.xE.yE.wE.t(w = {x} /\ t = {y} /\ z = <<w, t>>) <-> E.xE.y z = <<{x}, {y}>>)
31	6, 22, 30	3bitri 262	. . . . . . 7 |- (z e. (1c X.k 1c) <-> E.xE.y z = <<{x}, {y}>>)
32	31	imbi1i 315	. . . . . 6 |- ((z e. (1c X.k 1c) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
33		19.23vv 1892	. . . . . 6 |- (A.xA.y(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
34	32, 33	bitr4i 243	. . . . 5 |- ((z e. (1c X.k 1c) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.y(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
35	34	albii 1566	. . . 4 |- (A.z(z e. (1c X.k 1c) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.zA.xA.y(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
36		alrot3 1738	. . . 4 |- (A.zA.xA.y(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.yA.z(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
37	35, 36	bitri 240	. . 3 |- (A.z(z e. (1c X.k 1c) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.yA.z(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)))
38		opkex 4114	. . . . 5 |- <<{x}, {y}>> e. _V
39		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> <<{x}, {y}>> e. A))
40		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (z = <<{x}, {y}>> -> (z e. B <-> <<{x}, {y}>> e. B))
41	39, 40	bibi12d 312	. . . . 5 |- (z = <<{x}, {y}>> -> ((z e. A <-> z e. B) <-> (<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B)))
42	38, 41	ceqsalv 2886	. . . 4 |- (A.z(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B))
43	42	2albii 1567	. . 3 |- (A.xA.yA.z(z = <<{x}, {y}>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.y(<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B))
44	5, 37, 43	3bitri 262	. 2 |- (A.z e. (1c X.k 1c)(z e. A <-> z e. B) <-> A.xA.y(<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B))
45	4, 44	bitri 240	1 |- (A = B <-> A.xA.y(<<{x}, {y}>> e. A <-> <<{x}, {y}>> e. B))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2615   C_ wss 3258  {csn 3738  <<copk 4058  1_cc1c 4135   X._k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-xpk 4186

This theorem is referenced by:  sikexg  4297