Theorem sikexlem 4296

Description: Lemma for sikexg 4297. Equality for two subsets of 1_c squared . (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sikexlem.1	⊢ A ⊆ (1c ×k 1c)
sikexlem.2	⊢ B ⊆ (1c ×k 1c)

Assertion

Ref	Expression
sikexlem	⊢ (A = B ↔ ∀x∀y(⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem sikexlem

Dummy variables z w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sikexlem.1	. . 3 ⊢ A ⊆ (1c ×k 1c)
2		sikexlem.2	. . 3 ⊢ B ⊆ (1c ×k 1c)
3		ssofeq 4078	. . 3 ⊢ ((A ⊆ (1c ×k 1c) ∧ B ⊆ (1c ×k 1c)) → (A = B ↔ ∀z ∈ (1c ×k 1c)(z ∈ A ↔ z ∈ B)))
4	1, 2, 3	mp2an 653	. 2 ⊢ (A = B ↔ ∀z ∈ (1c ×k 1c)(z ∈ A ↔ z ∈ B))
5		df-ral 2620	. . 3 ⊢ (∀z ∈ (1c ×k 1c)(z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ ∀z(z ∈ (1c ×k 1c) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
6		elxpk 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ (1c ×k 1c) ↔ ∃w∃t(z = ⟪w, t⟫ ∧ (w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c)))
7		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w ∈ 1c ↔ ∃x w = {x})
8		el1c 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (t ∈ 1c ↔ ∃y t = {y})
9	7, 8	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c) ↔ (∃x w = {x} ∧ ∃y t = {y}))
10		eeanv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y}) ↔ (∃x w = {x} ∧ ∃y t = {y}))
11	9, 10	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c) ↔ ∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y}))
12	11	anbi2i 675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z = ⟪w, t⟫ ∧ (w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c)) ↔ (z = ⟪w, t⟫ ∧ ∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y})))
13		df-3an 936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ ((w = {x} ∧ t = {y}) ∧ z = ⟪w, t⟫))
14		ancom 437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((w = {x} ∧ t = {y}) ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ (z = ⟪w, t⟫ ∧ (w = {x} ∧ t = {y})))
15	13, 14	bitri 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ (z = ⟪w, t⟫ ∧ (w = {x} ∧ t = {y})))
16	15	2exbii 1583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ ∃x∃y(z = ⟪w, t⟫ ∧ (w = {x} ∧ t = {y})))
17		19.42vv 1907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃x∃y(z = ⟪w, t⟫ ∧ (w = {x} ∧ t = {y})) ↔ (z = ⟪w, t⟫ ∧ ∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y})))
18	16, 17	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ (z = ⟪w, t⟫ ∧ ∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y})))
19	12, 18	bitr4i 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z = ⟪w, t⟫ ∧ (w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c)) ↔ ∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫))
20	19	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃t(z = ⟪w, t⟫ ∧ (w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c)) ↔ ∃w∃t∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫))
21		exrot4 1745	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x∃y∃w∃t(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ ∃w∃t∃x∃y(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫))
22	20, 21	bitr4i 243	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w∃t(z = ⟪w, t⟫ ∧ (w ∈ 1c ∧ t ∈ 1c)) ↔ ∃x∃y∃w∃t(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫))
23		snex 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ {x} ∈ V
24		snex 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ {y} ∈ V
25		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = {x} → ⟪w, t⟫ = ⟪{x}, t⟫)
26	25	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = {x} → (z = ⟪w, t⟫ ↔ z = ⟪{x}, t⟫))
27		opkeq2 4061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = {y} → ⟪{x}, t⟫ = ⟪{x}, {y}⟫)
28	27	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t = {y} → (z = ⟪{x}, t⟫ ↔ z = ⟪{x}, {y}⟫))
29	23, 24, 26, 28	ceqsex2v 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃t(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ z = ⟪{x}, {y}⟫)
30	29	2exbii 1583	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x∃y∃w∃t(w = {x} ∧ t = {y} ∧ z = ⟪w, t⟫) ↔ ∃x∃y z = ⟪{x}, {y}⟫)
31	6, 22, 30	3bitri 262	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ (1c ×k 1c) ↔ ∃x∃y z = ⟪{x}, {y}⟫)
32	31	imbi1i 315	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ (1c ×k 1c) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (∃x∃y z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
33		19.23vv 1892	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (∃x∃y z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
34	32, 33	bitr4i 243	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ (1c ×k 1c) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
35	34	albii 1566	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ (1c ×k 1c) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀z∀x∀y(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
36		alrot3 1738	. . . 4 ⊢ (∀z∀x∀y(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y∀z(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
37	35, 36	bitri 240	. . 3 ⊢ (∀z(z ∈ (1c ×k 1c) → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y∀z(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)))
38		opkex 4114	. . . . 5 ⊢ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ V
39		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ A))
40		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ B ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))
41	39, 40	bibi12d 312	. . . . 5 ⊢ (z = ⟪{x}, {y}⟫ → ((z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ (⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B)))
42	38, 41	ceqsalv 2886	. . . 4 ⊢ (∀z(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ (⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))
43	42	2albii 1567	. . 3 ⊢ (∀x∀y∀z(z = ⟪{x}, {y}⟫ → (z ∈ A ↔ z ∈ B)) ↔ ∀x∀y(⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))
44	5, 37, 43	3bitri 262	. 2 ⊢ (∀z ∈ (1c ×k 1c)(z ∈ A ↔ z ∈ B) ↔ ∀x∀y(⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))
45	4, 44	bitri 240	1 ⊢ (A = B ↔ ∀x∀y(⟪{x}, {y}⟫ ∈ A ↔ ⟪{x}, {y}⟫ ∈ B))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615   ⊆ wss 3258  {csn 3738  ⟪copk 4058  1_cc1c 4135   ×_k cxpk 4175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-xpk 4186

This theorem is used by:  sikexg  4297