Theorem eeeanv 1914

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 26-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eeeanv	⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))

Distinct variable groups:   φ,y   φ,z   x,z,ψ   x,y,χ

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(z)

Proof of Theorem eeeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 936	. . 3 ⊢ ((φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∧ χ))
2	1	3exbii 1584	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ∃x∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ))
3		eeanv 1913	. . 3 ⊢ (∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ) ↔ (∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
4	3	exbii 1582	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ) ↔ ∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
5		eeanv 1913	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ))
6	5	anbi1i 676	. . 3 ⊢ ((∃x∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ ((∃xφ ∧ ∃yψ) ∧ ∃zχ))
7		19.41v 1901	. . 3 ⊢ (∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
8		df-3an 936	. . 3 ⊢ ((∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ) ↔ ((∃xφ ∧ ∃yψ) ∧ ∃zχ))
9	6, 7, 8	3bitr4i 268	. 2 ⊢ (∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))
10	2, 4, 9	3bitri 262	1 ⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-3an 936  df-ex 1542  df-nf 1545

This theorem is referenced by:  vtocl3  2912  spc3egv  2944  eloprabga  5579  mucass  6136  taddc  6230  letc  6232