ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0 Unicode version

Theorem addassnq0 6714
Description: Addition of non-negaative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( A +Q0  B ) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) )

Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6677 . . . 4  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  B ) )
32oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( ( A +Q0  B ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
4 oveq1 5550 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
54oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( A +Q0  ( B +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) )
63, 5eqeq12d 2096 . . . . 5  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( ( A +Q0  B
) +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
76imbi2d 228 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( ( A +Q0  B ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) ) )
8 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A +Q0  B
) +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( ( A +Q0  B
) +Q0  C ) )
9 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  C ) )
109oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( A +Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) )
118, 10eqeq12d 2096 . . . . 5  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( ( A +Q0  B ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( ( A +Q0  B ) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) ) )
1211imbi2d 228 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( ( A +Q0  B ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( ( A +Q0  B ) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) ) ) )
13 oveq1 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
1413oveq1d 5558 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( ( A +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
15 oveq1 5550 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
1614, 15eqeq12d 2096 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( (
( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( ( A +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
1716imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( (
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) ) )
18 simp1l 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  om )
19 simp2r 966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
20 pinn 6561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  om )
22 simp3r 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
23 pinn 6561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  om )
25 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( w  .o  u
)  e.  om )
2621, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .o  u )  e.  om )
27 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  om )  ->  ( x  .o  (
w  .o  u ) )  e.  om )
2818, 26, 27syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  ( w  .o  u
) )  e.  om )
29 simp1r 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
30 pinn 6561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  om )
32 simp2l 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  om )
33 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( z  .o  u
)  e.  om )
3432, 24, 33syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .o  u )  e.  om )
35 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( z  .o  u
)  e.  om )  ->  ( y  .o  (
z  .o  u ) )  e.  om )
3631, 34, 35syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( z  .o  u
) )  e.  om )
37 simp3l 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  om )
38 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( w  .o  v
)  e.  om )
3921, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .o  v )  e.  om )
40 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( y  .o  (
w  .o  v ) )  e.  om )
4131, 39, 40syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( w  .o  v
) )  e.  om )
42 nnaass 6129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .o  (
w  .o  u ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
z  .o  u ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  ->  ( ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  (
z  .o  u ) ) )  +o  (
y  .o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( y  .o  (
w  .o  v ) ) ) ) )
4328, 36, 41, 42syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .o  (
w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( z  .o  u ) ) )  +o  ( y  .o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  (
z  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( w  .o  v ) ) ) ) )
44 nnmcom 6133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
4544adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
46 nndir 6134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  +o  g
)  .o  h )  =  ( ( f  .o  h )  +o  ( g  .o  h
) ) )
4746adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  +o  g
)  .o  h )  =  ( ( f  .o  h )  +o  ( g  .o  h
) ) )
48 nnmass 6131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
4948adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
50 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  e.  om )
5150adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 5723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  .o  u )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
y  .o  ( z  .o  u ) ) ) )
53 nnmass 6131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  (
( y  .o  w
)  .o  v )  =  ( y  .o  ( w  .o  v
) ) )
5431, 21, 37, 53syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  w )  .o  v )  =  ( y  .o  (
w  .o  v ) ) )
5552, 54oveq12d 5561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  .o  u )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) )  =  ( ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  (
z  .o  u ) ) )  +o  (
y  .o  ( w  .o  v ) ) ) )
56 nndi 6130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( z  .o  u
)  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( y  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( ( y  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( w  .o  v
) ) ) )
5731, 34, 39, 56syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )  =  ( ( y  .o  (
z  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( w  .o  v ) ) ) )
5857oveq2d 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  (
z  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( w  .o  v ) ) ) ) )
5943, 55, 583eqtr4d 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  .o  u )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) )
60 nnmass 6131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  (
( y  .o  w
)  .o  u )  =  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) )
6131, 21, 24, 60syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  w )  .o  u )  =  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) )
62 opeq12 3580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  .o  u )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  v ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) )  /\  ( ( y  .o  w )  .o  u
)  =  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )  ->  <. ( ( ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  .o  u )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v
) ) ,  ( ( y  .o  w
)  .o  u )
>.  =  <. ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) >. )
6362eceq1d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  .o  u )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  v ) )  =  ( ( x  .o  ( w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) )  /\  ( ( y  .o  w )  .o  u
)  =  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )  ->  [ <. (
( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  .o  u
)  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( x  .o  (
w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
6459, 61, 63syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  .o  u
)  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  u ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( x  .o  (
w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
65 addnnnq0 6701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
6665oveq1d 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( v  e.  om  /\  u  e. 
N. ) )  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
68 addassnq0lemcl 6713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
69 addnnnq0 6701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  .o  u
)  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  u ) >. ] ~Q0  )
7068, 69sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( v  e.  om  /\  u  e. 
N. ) )  -> 
( [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) )  .o  u )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v
) ) ,  ( ( y  .o  w
)  .o  u )
>. ] ~Q0  )
7167, 70eqtrd 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( v  e.  om  /\  u  e. 
N. ) )  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  .o  u
)  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  u ) >. ] ~Q0  )
72713impa 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) )  .o  u
)  +o  ( ( y  .o  w )  .o  v ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  u ) >. ] ~Q0  )
73 addnnnq0 6701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
7473oveq2d 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( ( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
7574adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( ( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
76 addassnq0lemcl 6713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om  /\  (
w  .o  u )  e.  N. ) )
77 addnnnq0 6701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  (
w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
7876, 77sylan2 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( ( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  (
w  .o  u ) )  +o  ( y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
7975, 78eqtrd 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
80793impb 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( x  .o  ( w  .o  u
) )  +o  (
y  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
8164, 72, 803eqtr4d 2124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
82813expib 1142 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
831, 17, 82ecoptocl 6259 . . . . 5  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( A +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
8483com12 30 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  e. Q0  -> 
( ( A +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A +Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) )
851, 7, 12, 842ecoptocl 6260 . . 3  |-  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A  e. Q0  -> 
( ( A +Q0  B ) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) ) )
8685com12 30 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( A +Q0  B
) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) ) )
87863impib 1137 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( A +Q0  B ) +Q0  C )  =  ( A +Q0  ( B +Q0  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409   omcom 4339  (class class class)co 5543    +o coa 6062    .o comu 6063   [cec 6170   N.cnpi 6524   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539   +Q0 cplq0 6541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-plq0 6679
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6754
  Copyright terms: Public domain W3C validator