ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfgcd2 Unicode version

Theorem dfgcd2 10610
Description: Alternate definition of the  gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, e    e, M    e, N

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables  f  g  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 10565 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
21nn0ge0d 8463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
3 gcddvds 10562 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
4 3anass 924 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
64, 5bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
7 dvdsgcd 10608 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
86, 7sylbir 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) )
98ralrimiva 2439 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
102, 3, 93jca 1119 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1110adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
12 breq2 3809 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( 0  <_  D  <->  0  <_  ( M  gcd  N ) ) )
13 breq1 3808 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  M  <->  ( M  gcd  N )  ||  M ) )
14 breq1 3808 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  N  <->  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
1513, 14anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) ) )
16 breq2 3809 . . . . . . 7  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( e  ||  D  <->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1716imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) ) )
1817ralbidv 2373 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1912, 15, 183anbi123d 1244 . . . 4  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2019adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2111, 20mpbird 165 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )
22 gcdval 10558 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
2322adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
24 iftrue 3373 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
2524adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
26 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  D  ||  0
) )
27 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  D  ||  0
) )
2826, 27bi2anan9 571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( D 
||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 ) ) )
29 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  (
e  ||  M  <->  e  ||  0 ) )
30 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
e  ||  N  <->  e  ||  0 ) )
3129, 30bi2anan9 571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  <->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0 ) ) )
3231imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N )  -> 
e  ||  D )  <->  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) )
3332ralbidv 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) ) )
3428, 333anbi23d 1247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) ) )
35 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
||  0  ->  ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ ) )
36 dvds0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  e.  ZZ  ->  e  ||  0 )
3736, 36jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  e.  ZZ  ->  (
e  ||  0  /\  e  ||  0 ) )
3837adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0
) )
39 pm5.5 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4140ralbidva 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  e  ||  D
) )
42 0z 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
43 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  0  ->  (
e  ||  D  <->  0  ||  D ) )
4443rspcv 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D ) )
4542, 44ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D )
46 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  <->  D  = 
0 ) )
4746biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  D  =  0 ) )
48 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  D  <->  D  = 
0 )
4947, 48syl6ibr 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  0  =  D ) )
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5241, 51sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) )
5352ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5453adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  0  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5655adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5756com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  D  ->  (
( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
58573imp 1133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) )  -> 
0  =  D )
5934, 58syl6bi 161 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  0  =  D ) )
6059adantld 272 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  0  =  D ) )
6160imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  0  =  D )
6225, 61eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
6362ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  ( M  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
64 iffalse 3376 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
6564adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
66 lttri3 7310 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
6766adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
68 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  M  ->  ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
6968simpld 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  ZZ )
7069zred 8602 . . . . . . . . . 10  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  RR )
7170adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  RR )
72713ad2ant2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  D  e.  RR )
7372ad2antll 475 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
74 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  M  <->  y  ||  M ) )
75 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  N  <->  y  ||  N ) )
7674, 75anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
7776elrab 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) ) )
78 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  M  <->  y  ||  M ) )
79 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  N  <->  y  ||  N ) )
8078, 79anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
81 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  D  <->  y  ||  D ) )
8280, 81imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  y  ->  (
( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  <->  ( (
y  ||  M  /\  y  ||  N )  -> 
y  ||  D )
) )
8382rspcv 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  y  ||  D
) ) )
8483com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) ) )
8584imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  ->  y  ||  D ) )
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) )
87 elnn0z 8497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D ) )
8887simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
8988adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
||  M  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
9190adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9291impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN0 )
93 zre 8488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
9493ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  y  e.  RR )
9594ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  e.  RR )
9671ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  D  e.  RR )
97 simp-5l 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
98 elnn0 8409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  NN  \/  D  =  0 ) )
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
100 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  0  ||  M ) )
101 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  0  ||  N ) )
102100, 101anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( D  =  0  ->  (
( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <-> 
( 0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) )
103102anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( D  =  0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) ) ) )
104103adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) ) )
105 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
106 zdceq 8556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
10742, 106mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
108 ianordc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
)  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
110109ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0
) ) )
111105, 110mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
112 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  M  ->  (
0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
113 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  <->  M  = 
0 ) )
114 pm2.24 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  =  0  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
115113, 114syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
116115adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
118117adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
120 dvdszrcl 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  N  ->  (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
121 0dvds 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
122 pm2.24 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
123121, 122syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
124123adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
126125adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
128119, 127jaoi 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 )  ->  (
( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  ->  D  e.  NN ) )
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
130129adantld 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
131130adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) )  ->  D  e.  NN ) )
132104, 131sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN )
)
133132ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  =  0  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13499, 133jaoi 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  e.  NN  \/  D  =  0 )  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13598, 134sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
136135impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
137136imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  D  e.  NN )
138 dvdsle 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( y  ||  D  ->  y  <_  D )
)
13997, 137, 138syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) )
140139exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( D  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) ) ) )
141140com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
||  D  ->  ( D  e.  NN0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( (
( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) ) )
142141imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  ||  D  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) )
143142impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  /\  ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  -> 
( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
)
144143imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  <_  D
)
14595, 96, 144lensymd 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -.  D  <  y )
146145exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14792, 146mpan2d 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( y  ||  D  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
148147com13 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( y  ||  D  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14986, 148syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
150149com13 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
1511503impia 1136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) )
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) )  ->  -.  D  <  y ) )
153152expimpd 355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
154153expimpd 355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
15577, 154sylbi 119 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
156155impcom 123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } )  ->  -.  D  <  y )
15769adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  ZZ )
158157ancri 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
1591583ad2ant2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
160159ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
161160adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
162 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  M  <->  D  ||  M
) )
163 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  N  <->  D  ||  N
) )
164162, 163anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  D  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
165164elrab 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
166161, 165sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } )
167 breq2 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  D  ->  (
y  <  z  <->  y  <  D ) )
168167adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  /\  z  =  D )  ->  ( y  <  z  <->  y  <  D ) )
169 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
y  <  D )
170166, 168, 169rspcedvd 2716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } y  <  z )
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6504 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  D )
17265, 171eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
173172ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
174 gcdmndc 10547 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
175174adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  -> DECID 
( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
176 exmiddc 778 . . . . 5  |-  (DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  -> 
( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
) ) )
177175, 176syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/ 
-.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
17863, 173, 177mpjaodan 745 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
17923, 178eqtr2d 2116 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  D  =  ( M  gcd  N ) )
18021, 179impbida 561 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   {crab 2357   ifcif 3368   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   supcsup 6489   RRcr 7094   0cc0 7095    < clt 7267    <_ cle 7268   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    || cdvds 10403    gcd cgcd 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator