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Theorem isprm3 10725
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 10724 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
2 dvdszrcl 10426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
||  P  ->  (
z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )
)
32simpld 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
||  P  ->  z  e.  ZZ )
4 1zzd 8529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
5 zdceq 8574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  z  =  1 )
63, 4, 5syl2an2 559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  z  =  1
)
72simprd 112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
||  P  ->  P  e.  ZZ )
87adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
9 zdceq 8574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  -> DECID  z  =  P )
103, 8, 9syl2an2 559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  z  =  P
)
11 dcor 877 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  z  =  1  ->  (DECID  z  =  P  -> DECID 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
126, 10, 11sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  -> DECID  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
13 imandc 820 . . . . . . . 8  |-  (DECID  ( z  =  1  \/  z  =  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  (
z  e.  NN  /\  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  (
z  e.  NN  /\  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
15 eluz2nn 8808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
16 nnz 8521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
17 dvdsle 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
1816, 17sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
19 nnge1 8199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  1  <_  z )
2019adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  1  <_  z )
2118, 20jctild 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
2215, 21sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
23 nnz 8521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  ZZ )
24 zre 8506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
25 1re 7250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
26 leltap 7861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z #  1
) )
2725, 26mp3an1 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z #  1 ) )
2824, 27sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z #  1 ) )
29 1z 8528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
30 zapne 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3129, 30mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( z #  1  <->  z  =/=  1 ) )
3328, 32bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
34333adant2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
35343expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  z  ->  ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) ) )
36 zre 8506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
37 leltap 7861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
3824, 37syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
3936, 38syl3an2 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P #  z
) )
40 zapne 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z ) )
4140ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z ) )
42413adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  ( P #  z  <->  P  =/=  z
) )
4339, 42bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) )
44433expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  P  ->  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) )
4535, 44anim12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
4623, 45sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
47 pm4.38 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z ) ) )
48 df-ne 2250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  1  <->  -.  z  =  1 )
49 nesym 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  =/=  z  <->  -.  z  =  P )
5048, 49anbi12i 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <-> 
( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P ) )
51 ioran 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  ( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P )
)
5250, 51bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
5347, 52syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
5446, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5516, 15, 54syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5622, 55syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
5756imp 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
58 eluzelz 8779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
59 zltp1le 8556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_  z ) )
6029, 59mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z ) )
61 df-2 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261breq1i 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  <_  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z )
6360, 62syl6bbr 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  2  <_  z ) )
6463adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  2  <_  z ) )
65 zltlem1 8559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <  P  <->  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
6664, 65anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
67 peano2zm 8540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
68 2z 8530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
69 elfz 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7068, 69mp3an2 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7167, 70sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
7266, 71bitr4d 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7316, 58, 72syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7473adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7557, 74bitr3d 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7675anasss 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( P  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  z  ||  P ) )  ->  ( -.  (
z  =  1  \/  z  =  P )  <-> 
z  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) ) ) )
7776expcom 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
z  e.  NN  ->  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
7877pm5.32d 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
79 fzssuz 9229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
80 2eluzge1 8815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
81 uzss 8790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
8280, 81ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
8379, 82sstri 3017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
84 nnuz 8805 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8583, 84sseqtr4i 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  NN
8685sseli 3004 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  z  e.  NN )
8786pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
8878, 87syl6bbr 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
8988notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  ( -.  ( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
9014, 89bitrd 186 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
9190pm5.74da 432 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
92 bi2.04 246 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  -> 
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
93 con2b 626 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) )
9491, 92, 933bitr3g 220 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
9594ralbidv2 2375 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
9695pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
971, 96bitri 182 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   A.wral 2353    C_ wss 2982   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5564   RRcr 7112   1c1 7114    + caddc 7116    < clt 7285    <_ cle 7286    - cmin 7416   # cap 7818   NNcn 8176   2c2 8226   ZZcz 8502   ZZ>=cuz 8770   ...cfz 9175    || cdvds 10421   Primecprime 10714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-prm 10715
This theorem is referenced by:  prmind2  10727  2prm  10734  3prm  10735
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