ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnge1 Unicode version

Theorem nnge1 8129
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3797 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  1 ) )
2 breq2 3797 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  y ) )
3 breq2 3797 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
4 breq2 3797 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  A ) )
5 1le1 7739 . 2  |-  1  <_  1
6 nnre 8113 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7 recn 7168 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
87addid1d 7324 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  =  y )
98breq2d 3805 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  1  <_  y ) )
10 0lt1 7303 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0re 7181 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 7180 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 axltadd 7249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1259 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1510, 14mpi 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) )
16 readdcl 7161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  +  0 )  e.  RR )
1711, 16mpan2 416 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  e.  RR )
18 peano2re 7311 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
19 lttr 7252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1 )  ->  (
y  +  0 )  <  1 ) )
2012, 19mp3an3 1258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <  1 )  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y  +  0 )  <  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1
)  ->  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2215, 21mpand 420 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  <  1  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2322con3d 594 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  ( y  +  0 )  <  1  ->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
24 lenlt 7254 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  0 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  0 )  <->  -.  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2512, 17, 24sylancr 405 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  -.  (
y  +  0 )  <  1 ) )
26 lenlt 7254 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  <->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
2712, 18, 26sylancr 405 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  1 )  <->  -.  (
y  +  1 )  <  1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 201 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  -> 
1  <_  ( y  +  1 ) ) )
299, 28sylbird 168 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
306, 29syl 14 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 8122 1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   NNcn 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1re 7132  ax-addrcl 7135  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-inn 8107
This theorem is referenced by:  nnle1eq1  8130  nngt0  8131  nnnlt1  8132  nnrecgt0  8143  nnge1d  8148  elnnnn0c  8400  elnnz1  8455  zltp1le  8486  nn0ledivnn  8919  elfz1b  9183  fzo1fzo0n0  9269  elfzom1elp1fzo  9288  fzo0sn0fzo1  9307  nnlesq  9675  faclbnd  9765  faclbnd3  9767  coprmgcdb  10614  isprm3  10644  pw2dvds  10688  oddennn  10703
  Copyright terms: Public domain W3C validator