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Theorem nno 10218
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 8638 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
2 nnnn0 8246 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0o1gt2 10217 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
42, 3sylan 271 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
5 eqneqall 2230 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  1  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
7 nn0z 8322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8 peano2zm 8340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
109ad2antlr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
11 2cn 8061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1211mulid2i 7088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
13 nnre 7997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1413ltp1d 7971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
1514adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  ->  N  <  ( N  + 
1 ) )
16 2re 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 peano2nn 8002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1918nnred 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
20 lttr 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  < 
N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2117, 13, 19, 20syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  <  N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2221expdimp 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  <  ( N  +  1 )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
2  <  ( N  +  1 ) )
2412, 23syl5eqbr 3825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 ) )
25 1red 7100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  e.  RR )
2619adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
27 2pos 8081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
2816, 27pm3.2i 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
30 ltmuldiv 7915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
1  x.  2 )  <  ( N  + 
1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3125, 26, 29, 30syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3224, 31mpbid 139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
3319rehalfcld 8228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
3433adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  RR )
3525, 34posdifd 7597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  <  (
( N  +  1 )  /  2 )  <->  0  <  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )
3632, 35mpbid 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
0  <  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )
3736adantlr 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  0  <  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 ) )
38 elnnz 8312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )
3910, 37, 38sylanbrc 402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN )
40 nncn 7998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
41 xp1d2m1eqxm1d2 8234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4342eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4443adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4544adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
4639, 45mpbid 139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
4746a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4847expcom 113 . . . . . 6  |-  ( 2  <  N  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
496, 48jaoi 646 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  \/  2  <  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
504, 49mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
5150impancom 251 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
521, 51sylbi 118 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
5352imp 119 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    x. cmul 6952    < clt 7119    - cmin 7245    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  nn0o  10219
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